確率論の問題について

質問

(1)「確率変数Xが（）(0,a)上の一様分布U(0,a)に従うとき、また（）正規分布N(m,v)に従うとき、その標本化Zの分布密度関数を求めよ」
(2)「Xを標準正規分布N(0,1)に従う確率変数であるとする。Y＝｜X｜の密度関数を求めよ。Yの平均と分散を求めよ」
というものなのですが(1)(2)ともにまったく手をつけることができません（泣）アドバイスなどお願いします（泣）

回答No.2

guuman

書き間違いの修正版
xと書くべきとろこをyと書いたり
yと書くべきところをxと書いたりしていた

N(0,1)の密度をp(x)とおき
h(x)をヘビサイド関数とする

Y=|X|の分布をF(y)、密度をf(y)とするとf(y)=F'(y)である
y<0のときf(y)=F(y)=0なのは明白なので0<yのときのf(y)を求める

0<yのとき
F(y)=∫dx・h(y-|x|)・p(x)
だから
f(y)=F'(y)
=∫dx・δ(y-|x|)・p(x)
=∫[-∞<x<0]dx・δ(y+x)・p(x)+∫[0<x<∞]dx・δ(y-x)・p(x)
=p(-y)+p(y)
p(-y)=p(y)だから
f(y)=2・p(y)

まとめると
y<0のときf(y)=0
0<yのときf(y)=2・p(y)

回答No.1

guuman

(1)は意味不明なので無視
(2)は密度以外は置換積分、部分積分の問題なので高校生の問題
(2)の密度だけ

N(0,1)の密度をp(x)とおき
h(x)をヘビサイド関数とする

Y=|X|の分布をF(y)、密度をf(y)とするとf(y)=F'(y)である
y<0のときf(y)=F(y)=0なのは明白なので0<yのときのf(y)を求める

F(y)=∫dy・h(y-|x|)・p(x)
だから
f(y)=F'(y)
=∫dy・δ(y-|x|)・p(x)
=∫[-∞<y<0]dy・δ(y+x)・p(x)+∫[0<y<∞]dy・δ(y-x)・p(x)
=p(-x)+p(x)
p(-x)=p(x)だから
f(y)=2・p(x)

まとめると
y<0のときf(y)=0
0<yのときf(y)=2・p(x)