統計論の問題です

質問

何度も申し訳ありません。かなり重たい課題でよく分かりません。
以前の投稿とかぶる部分もあります。
本当に申し訳ありませんが、お力添えをお願いします。
（問題）
正規分布に従う確率変数XとYは、共に分散は１であるが、Xの平均値は－1、Yの平均値は１である。
(1)XとYが互いに独立であるとき、XとYの２次元確率密度関数p(x,y)を示せ.
(2)XとYが互いに独立であるとき、XYの平均値E(XY)、分散V(XY)を求めよ.
(3)互いに独立であるX、Yから作られる確率変数Z≡X/√2＋√2Yで定義するとき、Zの確率密度関数pz(z)を求め、その概形をグラフに描け.
(4)XとYが独立ではなく、E(XY)＝1/2であるとき、X+Yの平均値E(X+Y)と分散V(X+Y)を求めよ.
(5)(3)の確率変数Zの関数Z-1/√2のｎ(=0,1,2,3,・・・)次モーメントMn≡E((Z-1/√2)^n)を求めよ.

以上５問です。
授業でぜんぜんやっていないところで、平均と分散から確率密度関数を求める問題（(1)のような問題）や独立でないときの平均や分散の求め方（(4)のような問題）は教科書を見ても分かりませんでした。実際、このような問題形式で確率密度関数などは求められるものでしょうか。本当に初心者なので、申し訳ありませんがお力添えお願いします。

回答No.1

rabbit_cat

(1)
授業で同時確率密度分布それ自体はやらなかったとしても、独立の定義はやったと思います。
ちょっと自分で考えてみて欲しいですが、
XとYが独立なら、ほぼ独立の「定義」より、p(x,y)=p(x)p(y) です。

(2)
これは、ほぼ高校の確率の問題になりますが、
E(XY)=E(X)E(Y)
V(XY) = E(X^2Y^2)-E(XY)^2
　　　= …（途中省略、自分でやってみてください）
　　　= V(X)V(Y) + V(X)E(Y)^2 + V(Y)E(X)^2
　　　= 計算してください。

(3) 省略。(1)ができればできるのでは。
(4)
E(X+Y) = E(X) + E(Y)
V(X+Y) = E((X+Y)^2) - E(X+Y)^2
　　　 = …（途中省略、自分でやってみてください）
　　　 = V(X) + V(Y) + 2{E(XY) + E(X)E(Y)
　　　 = 計算してください。

(5) 基本的には、(4)と同じような方針です。がんばって。
　　あるいは、モーメント母関数を習っていればそれを使ってもいいです。