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数学(数理統計学)の質問です。

数学(数理統計学)の質問です。 2つの確率変数X,Yはそれぞれ密度関数f(x),g(x)をもつ分布に従い、平均E(X)=μ,E(Y)=ν,分散V(X)=σ^2,V(Y)=τ^2をもつとする。さらに、εはベルヌーイ分布Ber(p)に従う確率変数であり、X,Yと独立であるとする。そのとき、確率変数Z=εX+(1-ε)Yはどのような分布に従うか、その確率変数を求めよ。また、平均E(Z)と分散V(Z)を求めよ。 答えはあるのですが、解答に至る過程がわかりません。ご指導よろしくおねがいします。

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タイピング簡略のためε=eとする。 Pr[Z≦a] =Pr[eX+(1-e)Y≦a] =Pr[X≦a,e=1]+Pr[Y≦a,e=0] =Pr[X≦a]Pr[e=1]+Pr[Y≦a]Pr[e=0]:eとX、eとYの独立性 =pPr[X≦a]+(1-p)Pr[Y≦a] =int_{-∞}^{a}pf(x)dx+int_{-∞}{a}(1-p)g(x)dx =int_{-∞}^{a}[pf(x)+(1-p)g(x)]dx. これよりZの密度関数はh(x)=pf(x)+(1-p)g(x). E[Z] =E[eX+(1-e)Y] =E[eX]+E[(1-e)Y] =E[e]E[X]+E[1-e]E[Y]:eとX、eとYの独立性 =pμ+(1-p)ν. V[Z] =E[(Z-E[Z])^2] =E[Z^2]-(E[Z])^2 =int_{-∞}^{∞}x^2(pf(x)+(1-p)g(x))dx-(E[Z])^2 =pσ^2+(1-p)τ^2-[pμ+(1-p)ν]^2

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