数学(数理統計学)の質問です。

質問

数学(数理統計学)の質問です。
2つの確率変数X,Yはそれぞれ密度関数f(x),g(x)をもつ分布に従い、平均E(X)=μ,E(Y)=ν,分散V(X)=σ^2,V(Y)=τ^2をもつとする。さらに、εはベルヌーイ分布Ber(p)に従う確率変数であり、X,Yと独立であるとする。そのとき、確率変数Z=εX＋(1-ε)Yはどのような分布に従うか、その確率変数を求めよ。また、平均E(Z)と分散V(Z)を求めよ。
答えはあるのですが、解答に至る過程がわかりません。ご指導よろしくおねがいします。

回答No.1

Anti-Giants · ベストアンサー

タイピング簡略のためε=eとする。

Pr[Z≦a]
=Pr[eX+(1-e)Y≦a]
=Pr[X≦a,e=1]+Pr[Y≦a,e=0]
=Pr[X≦a]Pr[e=1]+Pr[Y≦a]Pr[e=0]：eとX、eとYの独立性
=pPr[X≦a]+(1-p)Pr[Y≦a]
=int_{-∞}^{a}pf(x)dx+int_{-∞}{a}(1-p)g(x)dx
=int_{-∞}^{a}[pf(x)+(1-p)g(x)]dx.

これよりZの密度関数はh(x)=pf(x)+(1-p)g(x).

E[Z]
=E[eX+(1-e)Y]
=E[eX]+E[(1-e)Y]
=E[e]E[X]+E[1-e]E[Y]：eとX、eとYの独立性
=pμ+(1-p)ν.

V[Z]
=E[(Z-E[Z])^2]
=E[Z^2]-(E[Z])^2
=int_{-∞}^{∞}x^2(pf(x)+(1-p)g(x))dx-(E[Z])^2
=pσ^2+(1-p)τ^2-[pμ+(1-p)ν]^2

お礼

ありがとうございます。
理解しました。