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統計学について

統計学の問題です。平均はできたのですが、分散ができなくて困っています。解答、解説をどうかよろしくお願いします。問題は以下です。 確率変数X、Yは独立で、それらの平均と分散はE(X)=μ1、E(Y)=μ2、V(X)=σ1、V(Y)=σ2であるとする。εはベルヌーイ分布Ber(p)に従う確率変数であり、X、Yとは独立であるとする。そのとき、確率変数Z=εX+(1-ε)Yの平均と分散を求めよ。 ちなみに、答えは、E(Z)=pμ1+(1-p)μ2、V(Z)=pσ1+(1-p)σ2+p(1-p)(μ1-μ2)^2 です。

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εはベルヌーイ分布Ber(p)に従う確率変数だから ε=ε^2 (1-ε)ε=0 (1-ε)^2=1-2ε+ε^2=1-ε Eε=Eε^2=p E(1-ε)^2=E(1-ε)=1-p E(ε-p)^2=Eε^2-p^2=p(1-p) E(X)=μ1,V(X)=σ1だから σ1=V(X)=E(X-EX)^2=EX^2-(EX)^2=EX^2-μ1^2 E(Y)=μ2,V(Y)=σ2だから σ2=V(Y)=E(Y-EY)^2=EY^2-(EY)^2=EY^2-μ2^2 εとXは独立だから E(εX)=EεEX=pμ1 E(εX)^2=(Eε^2)(EX^2)=p(σ1+μ1^2) εとYは独立だから E(εY)=EεEY=pμ2 E{(1-ε)Y}^2=E(1-ε)^2(EY^2)=(1-p)(σ2+μ2^2) Z=εX+(1-ε)Yだから 平均 E(Z) =E(εX+(1-ε)Y) =E(εX)+μ2-E(εY) =EεEX+μ2-EεEY =pμ1+μ2-pμ2 =pμ1+(1-p)μ2 分散 V(Z) =E{(Z-EZ)^2} =E{Z^2-2ZEZ+(EZ)^2} =E(Z^2)-2(EZ)^2+(EZ)^2 =E(Z^2)-(EZ)^2 =E[{εX+(1-ε)Y}^2]-(EZ)^2 =E[(εX)^2+2ε(1-ε)XY+{(1-ε)Y}^2]-(EZ)^2 =E[(εX)^2+{(1-ε)Y}^2]-(EZ)^2 =E{(εX)^2}+E[{(1-ε)Y}^2]-(EZ)^2 =E{(ε^2)(X^2)}+E[{(1-ε)^2}(Y^2)]-(EZ)^2 =E{ε(X^2)}+E{(1-ε)(Y^2)}-(EZ)^2 =(Eε)E(X^2)+E(1-ε)E(Y^2)-(EZ)^2 =p(σ1+μ1^2)+(1-p)(σ2+μ2^2)-(pμ1+(1-p)μ2)^2 =pσ1+pμ1^2+(1-p)σ2+(1-p)μ2^2-(pμ1)^2-2pμ1(1-p)μ2-{(1-p)μ2}^2 =pσ1+(1-p)σ2+pμ1^2-(pμ1)^2-2pμ1(1-p)μ2+(1-p)μ2^2-{(1-p)μ2}^2 =pσ1+(1-p)σ2+p(1-p)μ1^2-2p(1-p)μ1μ2+p(1-p)μ2^2 =pσ1+(1-p)σ2+p(1-p)(μ1-μ2)^2

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