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数学(数理統計学)の問題です。

数学(数理統計学)の問題です。 実数値確率変数列X1,X2,X3,.....,Xn,...は独立で、平均θ分散1を持つとする。Xnのバー=1/nΣ[i=1~n] {Xi}とおく。 (1)統計量(Xnのバー)^2がθ^2の不偏推定量かどうかを調べ、不偏でない場合にはθ^2の不偏推定量をひとつ構成せよ。 (2)確率変数Y,Zと任意のε>0,δ>0に対して、以下の不等式を示せ。P(|(YZ)>ε,|Y|≦δ)≦(δ^2/ε^2)*E[Z^2] (3)任意のε>0に対して、lim(n~∞)P(|(Xnバー)^2-θ^2|>ε)=0が成り立つことを示せ。

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  • 回答No.2
noname#227064
noname#227064

問題はあれど質問がないので何が知りたいのかわかりませんが、(2)の問題が面白かったので回答します。 まず、 > P(|(YZ)>ε,|Y|≦δ)≦(δ^2/ε^2)*E[Z^2] は、 P(|YZ|>ε,|Y|≦δ)≦(δ^2/ε^2)*E[Z^2] の間違いとして話を進めます。 P(|YZ|>ε,|Y|≦δ) = P(|Y||Z|>ε,|Y||Z|≦δ|Z|) = P(ε<|Y||Z|≦δ|Z|) ≦ P(ε≦δ|Z|) = P(ε/δ≦|Z|) = P(ε^2/δ^2≦|Z|^2) = P(ε^2/δ^2≦Z^2) ≦ (δ^2/ε^2)*E[Z^2] 最後の不等式は、マルコフの不等式を用いた。 (3)は(Xnバー)^2-θ^2を因数分解して(2)を適用します。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。誤字はその通りです。

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  • 回答No.3
noname#227064
noname#227064

訂正 > (3)は(Xnバー)^2-θ^2を因数分解して(2)を適用します。 直接は適用できませんでしたね。 うっかりしていました。 lim(n~∞)P(|(Xnバー)^2-θ^2|>ε) = lim(n~∞){P(|(Xnバー)^2-θ^2|>ε,|Y|≦δ)+P(|(Xnバー)^2-θ^2|>ε,|Y|>δ)} としていくのでしょうね。 Y,Zが何になるかはご自分で考えましょう。

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質問者からのお礼

詳しい回答ありがとうございます。マルコフの不等式についてきちんと勉強しなおします。 gotouikusaさんもありがとうございました。

  • 回答No.1

(2)については,すみませんが,不等式の左辺の意味が分かりません。 (3)は(2)を使うと思います。

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質問者からのお礼

ありがとうございます。誤字失礼しました。

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