確率・統計の問題です。

質問

以下の問題の解答をお願いします。

確率変数X, Yの同時確率密度関数が図のようになるとき、確率変数Z=X-Yの確率密度関数gz(z)を求めよ。

回答No.1

jcpmutura · ベストアンサー

fxy(x,y)=ax(0<y<x,0<x<1)

∫_{0～1}∫_{0～x}fxy(x,y)dydx=1
=∫_{0～1}∫_{0～x}(ax)dydx
=a∫_{0～1}x∫_{0～x}dydx
=a∫_{0～1}x^2dx
=a[x^3/3]_{0～1}
=a/3=1
∴
a=3

0<z<1の時
gz(z)
=P(Z=z)
=P(X-Y=z)
=∫_{z→1}(ax)dx
=a[x^2/2]_{z→1}
=a(1-z^2)/2
=3(1-z^2)/2

∫_{0~1}gz(z)dz
=∫_{0~1}{3(1-z^2)/2}dz
=(3/2)∫_{0~1}(1-z^2)dz
=(3/2)[z-z^3/3]_{0~1}
=3/3
=1

z≦0.又は.z≧1の時,gz(z)=0
0<z<1の時
gz(z)=a(1-z^2)/2=3(1-z^2)/2

お礼

いつも解答ありがとうございます。