確率の問題

質問

確率の問題

X～N( ０ , 1 )のとき、Xの平方
Y = X ^ 2
の分布関数を考える。以下の問いに答えよ。なお、N（ ０ , 1 )の分布関数をΦ（ｘ）、確率密度関数をφ（ｘ）で表す。
（φ（ｘ） ＝ 1/(√２π) exp{ - x^2/2 } 、－∞ ＜ ｘ ＜ ∞）

（１）Yの分布関数FY（ｙ）をΦ（・）を使って表してください
（２）Yの確率密度関数ｆｙ（ｙ）をφ（・）を使って表してください。また、ｆｙ（ｙ）を具体的に求めてください。

確率の問題で、よろしくお願いします。

回答No.1

MagicianKuma

確率変数Xが分布関数FX(・)を持つする。g(・)がボレル可測関数のとき、Y=g(X)も確率変数となり、Yの分布関数はFY(y)=P(Y≦y)＝P(g(X)>≦y)となる。
(1)さて、Y=X^2とおく。これはR上で単調関数ではない。がR+上とR-上では単調である。
　y≧0に対して、FY(y)=P(Y≦y)=P(ω∈Ω|X(ω)^2≦y)=P(-√y≦X≦√y)=Φ(√y)-Φ(-√y)
　y<0に対しては明らかにFY(y)=0
(2)y≧0に対して、fy(y)=dFY(y)/dy=1/2√y・φ(√y)+1/2√y・φ(-√y)
　y<0に対しては明らかにfy(y)=0
(2)-2
　φ(x)=1/√(2π)・exp(-x^2/2)であるから、fy(y)=1/2√(2πy)(φ(√y)+φ(-√y))=1/√(2πy)・φ(√y)
よって、fy(y)=1/√(2πy)・exp(-y/2) (0<y<∞)