確率の問題

質問

Ｘ、Ｙをそれぞれ標準正規分布Ｎ（０，１）に従う独立な確率変数とする。このとき、次の問を答えよ。

（１）（Ｘ，Ｙ）の曲座標表示を表す確率変数を（Ｒ，Θ）、すなわち、Ｘ＝ＲcosΘ、Ｙ＝ＲsinΘとする。

このとき、（Ｒ，Θ）の同時確率密度関数が次の式で与えられることを示せ。
ｐ（ｒ、Θ）ｄΘｄｒ＝（１/２π）*{exp（-r^2/2)}*( r ) dΘdr

(2)確率Ｐｒ｛Ｘ１＾２＋Ｘ２＾２＞＝ｄ＾２｝を求めよ

回答No.1

reiman · ベストアンサー

（１）
q:X,Yの密度関数
q(x)=e^(-x^2/2)/√(2・π)
q(y)=e^(-y^2/2)/√(2・π)

J:(x,y)→(r,s)のヤコビアン
J(r,s)=
|cos(s) -r・sin(s)|
|sin(s) r・cos(s)|
=r

P:(R,Θ)の同時分布関数
P(R,Θ)
=∫∫[√(x^2+y^2)<R,0<∠(x,y)<Θ]dxdy・q(x)・q(y)
=∫∫[√(x^2+y^2)<R,0<∠(x,y)<Θ]dxdy・e^(-(x^2+y^2)/2)/2/π
=∫∫[r<R,0<s<Θ]drds・r・e^(-r^2/2)/2/π

p:(R,Θ)の同時密度関数
p(R,Θ)=r・e^(-r^2/2)/2/π

（２）
Pr(d<R)
=∫∫[d<r,0<s<2・π]drds・r・e^(-r^2/2)/2/π
=∫[d<r]dr・r・e^(-r^2/2)
=e^(-d^2/2)

お礼

回答ありがとうございました。
大変助かりました。