積分の問題について

質問

D={(x,y)|x^2+y^2≦1,y≦0}
∬[D] 2y*exp(x^2+y^2)dxdyを求める問題です。

このまま単純に∫[-1,0]∫[-√(1-y^2),√(1-y^2)] 2y*exp(x^2+y^2)dxdyと計算しても上手くいかず
x=rcosθ,y=rsinθと変数変換しても途中でつまってしまいます。
何か別のやり方があるんでしょうか。

回答No.2

info22 · ベストアンサー

積分の順序を逆にすると
I=2∫[0,1]{exp(x^2)∫[-√(1-x^2),0] 2y*exp(y^2)dy}dx
=2∫[0,1]{exp(x^2)[1-exp(1-x^2)]} dx
=2∫[0,1]{exp(x^2)-e} dx
=2∫[0,1]{exp(x^2)}dx -2e

この先は初等関数の範囲では積分できません。
特殊関数の誤差関数erf(x)(複素領域に拡張したもの)を使えば
定積分∫[0,1]{exp(x^2)}dx=-(1/2)(√π) {i*erf(i)}
や
不定積分∫{exp(x^2)}dx=-(1/2)(√π) {i*erf(ix)}+C
と積分できますので(iは虚数単位で、「i*erf(i)」は実数になります）、

I=-(√π) {i*erf(i)}-2e (eはネピア数、自然対数の底です）
=-2.511260…
（積分終わり）

＞x=rcosθ,y=rsinθと変数変換しても途中でつまってしまいます。
この方法でも、初等関数の範囲では積分できません。

回答No.1

Meowth

∫exp(x^2)dx=erf(ix)/i=erfi(x)
と定義すれば、
∬[D] 2y*exp(x^2+y^2)dxdy=2erfi(1))-2e

お礼

erfi(x)はまだ習っていなかったので調べてみます。
ありがとうございました。