重積分（変数変換）の計算

質問

【問題】∬D x dxdy　D : x^2+y^2≦x

x=rcosθ,y=rsinθとおくと、領域Dは何に写されるのでしょうか。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

Dの式にx=rcosθ,y=rsinθ(r≧0,0≦θ＜2π）を代入すると
　r^2≦rcosθ
　r(r-cosθ)≦0
　0≦r≦cosθ

>x=rcosθ,y=rsinθとおくと、領域Dは何に写されるのでしょうか。
D:{(x,y)|x^2+y^2≦x}　⇒ E:{(r,θ)|0≦r≦cosθ,0≦θ＜2π}
と領域Dは領域Eに変わる（写像される）。

積分は以下の通り。

∬_D x dxdy=∬_E rcos |J|drdθ=∬_E rcos rdrdθ

累次積分に書き換えて

=∫[0→2π] cosθdθ∫[0→cosθ] r^2 dr
=∫[0→2π] cosθdθ[(1/3)r^3][r：0→cosθ]
=(1/3)∫[0→2π] (cosθ)^4 dθ
=(1/3)∫[0→2π] (1/4)(1+cos(2θ))^2 dθ
=(1/12)∫[0→2π] (1+cos(2θ))^2 dθ
=(1/12)∫[0→2π] (1+2cos(2θ)+(cos(2θ))^2) dθ
=(1/12){2π+∫[0→2π] (cos(2θ))^2 dθ}
=(1/12){2π+∫[0→2π] (1/2)(1+cos(4θ)) dθ}
=(1/12){2π+∫[0→2π] (1/2) dθ}
=(1/12)(2π+π)
=π/4

お礼

ご回答ありがとうございます。
どのように導いていくか納得することができました。