重積分 変数変換 絶対値

質問

画像の解き方がわかりません。
絶対値がなければx=rcosθ　y=rsinθと置く方法は知ってますが、どうすればよいか教えてください。

回答No.4

info22_ · ベストアンサー

#2,#3です。

A#3の補足の質問についての回答

>x=rcos(θ-π/4),y=rsin(θ-π/4)はどのように求めたのでしょうか？
>そのあと加法定理でr√2*sinθとなり計算するのは分かりました。

|x+y|の絶対値を外すには
x+y≧0とx+y≦0などで場合分けが必要です。

x+y=0 すなわち y=-x が場合分けの境界となります。

x=rcosθ,y=rsinθとするとy=-xの境界は　sinθ=-cosθ すなわち θ=-π/4 となります。
すると場合分けは
■x+y=r(cosθ+sinθ)=√2sin(θ+π/4)≧0となるθの範囲
-π/4≦θ≦π-π/4と
■x+y=r(cosθ+sinθ)=√2sin(θ+π/4)≦0となるθの範囲
-π-π/4≦θ≦-π/4
など、
絶対値を外すための場合分けθの範囲が複雑になります。
三角関数の積分を簡単にするために偶関数や奇関数の性質を利用します。それには上のような場合分けは適当ではありません。
x+y=r(cosθ+sinθ)=√2sin(θ+π/4)の位相(θ+π/4)をθになるようにx,yの位相θを-π/4だけ予めずらして
x=rcos(θ-π/4),y=rsin(θ-π/4)としておいてやれば
|x+y|=√2r|sinθ|となり、絶対値を外す場合分けのθの範囲を
　x+y≧0　→　0≦θ≦π
　x+y≦0　→　-π≦θ≦0
と変数変換後のθの積分範囲を対称にでき
被積分関数の |x+y|→√2 (r^2)|sinθ|と
なる結果θの偶関数の性質を利用できると同時に絶対値も同時に外すことができます。
その結果として0≦θ≦πの範囲の積分だけに単純化できます。
----------------------------------------------------
x=rcosθ,y=rsinθという変数変換を行うと
|x+y|=r|(cosθ+sinθ)|=√2r|sin(θ+π/4)|
ヤコビアン|J|=r(≧0) より
被積分関数のθの積分に関する積分項が
∫|sin(θ+π/4)|dθ
=∫[-π/4,3π/4]sin(θ+π/4)dθ
-∫[3π/4,7π/4]sin(θ+π/4)dθ
となって、三角関数の偶関数や奇関数性を利用した積分や
積分の上限と下限が複雑になります。

お礼

丁寧にありがとうございましたm(_ _)m

回答No.3

info22_

#2です。

(2)
x,yの場合分けが単純になるように
x=rcos(θ-π/4),y=rsin(θ-π/4)
(-π≦θ≦π)とおくとx^2+y^2=r^2≦1より、0≦r≦1。θは１周期の2πで-π≦θ≦πにとる。
|x+y|=|r√2*sinθ|=r√2*|sinθ|(-π≦θ≦π)
より
I=∫∫{x^2+y^2≦1}|x+y|dxdy
=∫∫{0≦r≦1,-π≦θ≦π}r√2*|sinθ| rdrdθ
|sinθ|はθの偶関数であるから
=2√2∫[0,π]sinθdθ*∫[0,1]r^2 dr
=2√2{[-cosθ][0,π]}*{[r^3/3][0,1]}
この先は計算できますね。

補足

x=rcos(θ-π/4),y=rsin(θ-π/4)はどのように求めたのでしょうか？
そのあと加法定理でr√2*sinθとなり計算するのは分かりました。
できれば教えてください。

回答No.2

info22_

(1)
|x|はxの偶関数で積分領域もy軸対称だから
I=∫∫{x^2+y^2≦1}|x|dxdy
=2∫∫{x^2+y^2≦1,x≧0}xdxdy
yについて被積分関数が偶関数（定数）で積分領域もx軸対称だから
=4∫∫{x^2+y^2≦1,x≧0,y≧0}xdxdy
=4∫[0,1]dy∫[0,√(1-y^2)]xdx
=4∫[0,1][x^2/2](x=√(1-y^2))dy
=4∫[0,1]{(1-y^2)/2}dy
後はご自分でできますね。

(2)
x+y≧0の領域とx+y≦0の領域に分けて絶対値を外して
それぞれ積分し、結果を加えてやれば良いでしょう。

極座標に変換する場合は角度で領域を分けてやれば良いでしょう。

分からなければ途中計算を書いて質問して下さい。

回答No.1

Tacosan

絶対値を外す.