ラプラス変換

質問

x=rcosθsinφ、y=rsinθsinφ、z=rcosφで与えられているときの∇^2u(x,y,z)を求めたいのですが。∂φ/∂xや∂^2φ/∂x^2がどうしても求められません。どのように変形したらいいですか？
∂x/∂φや∂x^2/∂^2φは出来るんですけどね！

回答No.5

grothendieck · ベストアンサー

No.1ではr,θ,φが通常の極座標かと思って回答してしまいました。r,θ,φとx,y,zがご質問の様になっているとすれば、
　φ= arctan(√(x^2+y^2)/z)

より
∂φ/∂x = {1/(1 + (x^2+y^2/z^2))}(x/z√(x^2+y^2))
とすれば良いと思われます。

回答No.6

stomachman

x=rcosθsinφ、y=rsinθsinφ、z=rcosφで与えられているとき、ある関数u(x,y,z)のラプラシアンΔuを計算したいと仰る。
関数uが(r,θ,φ)の関数として与えられたときに、uの(x,y,z)座標系でのラプラシアン
Δu=(∂^2)u/(∂x)^2 + (∂^2)u/(∂y)^2 + (∂^2)u/(∂y)^2
を計算したい、という意味でしょうか？

もしそうならば
r^2=x^2+y^2+z^2
tanφ=(√(x^2+y^2))/z
tanθ=y/x
から、
Δu=((cosecφ)/(r^2))( (sinφ)(∂/∂r)((r^2)(∂u/∂r))+(∂/∂φ)((sinφ)(∂u/∂φ))+(cosecφ)((∂^2)u/(∂θ)^2)
=((∂^2)u/(∂r)^2 )+ (2/r)(∂u/∂r) + (1/r^2)( ((∂^2)u/(∂φ)^2)+(cotφ)(∂u/∂φ)+((cosecφ)^2)((∂^2)u/(∂θ)^2) )
ってこってすけど。
そういう単純な話ではない？

回答No.4

keyguy

一言多かったので引っ込めます
地道にやらないと駄目みたいです

A(r,θ,φ)を適当な成分がr,θ,φの関数である3次正方行列としたとき
x=rcosθsinφとy=rsinθsinφとz=rcosφをそれぞれxで偏微分しすると
[1 0 0]=[rx θx φx]・A(r,θ,φ)
が得られ
x=rcosθsinφとy=rsinθsinφとz=rcosφをそれぞれyで偏微分しすると
[0 1 0]=[ry θy φy]・A(r,θ,φ)
が得られ
x=rcosθsinφとy=rsinθsinφとz=rcosφをそれぞれzで偏微分しすると
[0 0 1]=[rz θz φz]・A(r,θ,φ)
が得られる
よって
[rx θx φx]
[ry θy φy]＝A(r,θ,φ)^(-1)
[rz θz φz]

まずA(r,θ,φ)を求めてその逆行列を求めよう
対称性などの何らかの条件がuにないと大変な式になりそうですね

回答No.3

keyguy

表記上誤解を受けそうな表現になっていたので書き直し
A(r,θ,φ)はAと(r,θ,φ)の積ではありません
行列Aが(r,θ,φ)の関数と言うことです

x=rcosθsinφとy=rsinθsinφとz=rcosφをそれぞれxで偏微分しすると
[1 0 0]=[rx θx φx]・A(r,θ,φ)
が得られ
x=rcosθsinφとy=rsinθsinφとz=rcosφをそれぞれyで偏微分しすると
[0 1 0]=[ry θy φy]・A(r,θ,φ)
が得られ
x=rcosθsinφとy=rsinθsinφとz=rcosφをそれぞれzで偏微分しすると
[0 0 1]=[rz θz φz]・A(r,θ,φ)
が得られる
ただしAは3×3の成分が(r,θ,φ)の関数である行列である
よって
[rx θx φx]
[ry θy φy]＝A(r,θ,φ)^(-1)
[rz θz φz]

まずA(r,θ,φ)を求めてその逆行列を求めよう
uxxを求めればuyyとuzzは対称性から同じような式になる
そしてuxx+uyy+uzzを求めればよい

回答No.2

keyguy

x=rcosθsinφとy=rsinθsinφとz=rcosφをそれぞれxで偏微分しすると
(1,0,0)=(rx,θx,φx)・A(r,θ,φ)が得られ
x=rcosθsinφとy=rsinθsinφとz=rcosφをそれぞれyで偏微分しすると
(0,1,0)=(ry,θy,φy)・A(r,θ,φ)が得られ
x=rcosθsinφとy=rsinθsinφとz=rcosφをそれぞれzで偏微分しすると
(0,0,1)=(rz,θz,φz)・A(r,θ,φ)が得られる
ただしAは3×3の成分が(r,θ,φ)の関数である行列である
よって
[rx θx φx]
[ry θy φy]＝A(r,θ,φ)^(-1)
[rz θz φz]

まずA(r,θ,φ)を求めてその逆行列を求めよう

回答No.1

grothendieck

φ= arctan(y/x)
arctan(x)' = 1/(1 + x^2)
より
∂φ/∂x = {1/(1 + (y/x)^2)}(-y/x^2)
となります。ちなみに直交曲線座標で線素が
　ds^2 = h1^2 du^2 + h2^2 dv^2 + h3^2 dw^2
の形をしている時、ラプラシアンは
　Δf=(1/h1h2h3){∂/∂u(h2h3/h1 ∂f/∂u)
　+∂/∂v(h3h1/h2 ∂f/∂v)+∂/∂w(h3h1/h2 ∂f/∂w)}
で与えられます。なお、ラプラス変換はこれとは別のものを指すと思います。

補足

arctan(x/y)になるのはφではなくθになると思うんですけど・・・・。