３重積分の問題です。

質問

x=rsinθcosΨ、y=rsinθsinΨ　,z=rcosθ
と置き換えたのですが、途中で挫折しました。

解ける方がいましたらお願いします。

回答No.1

ereserve67 · ベストアンサー

次の変数変換をした後に極座標へ変換します．2段構えです．

u=x+2z,v=y,w=2x+z

逆に解くと，

x=-u/3+2w/3
y=v
z=2u/3-w/3

x_u=-1/3,x_v=0,x_w=2/3
y_u=0 ,y_v=1,y_w=0
z_u=2/3 ,z_v=0 ,z_w=-/3

ヤコビアンJの(2,2)成分について展開して

J=(-1)^{2+2}{(-1/3)^2-(2/3)^2}=-1/3

よって

I=∫∫∫_Ev^2√(u^2+v^2+w^2)|J|dudvdw=(1/3)∫∫∫_Evdudvdw
E={(u,v,w)|u^2+v^2+w^2≦2^2,w≧0}

ここでもう一度極座標へ変換します．

u=rsinθcosφ,v=rsinθsinφ,w=rcosθ

領域は上半球

F={0≦r≦2,0≦θ≦π/2,0≦φ≦2π}

でこの場合のヤコビアンはよく知られています．

J=r^2sinθ

I=(1/3)∫∫∫_F(rsinθsinφ)^2rr^2sinθdrdθdφ

=(1/3)∫_0^2drr^5∫_0^{π/2}sin^3θ∫_0^{2π}sin^2φdφ

=(1/3)(64/6)(2/3)π=64π/27

お礼

ありがとうございます。