- ベストアンサー
広義積分
広義積分の問題で、 ∫e^(-x^2) x=[0,∞] (インテグラルeのマイナスx二乗乗) の解が√π/2であることを示すのに、 (与式)^2=∬e^{-1/2(x^2+y^2)} dxdy (与式の二乗は、eの{マイナス二分の一(xの二乗+yの二乗)}乗}をx=[0,∞]、y=[0,∞]で面積分したものに等しい、つまりπ/4) となるのを利用して、極座標に変数変換することによって解けとあったのですが、 これをx=rcosθ、y=rsinθとして計算すると、 どうもrとθの範囲がr≧0、0≦θ≦π/4とならなければならないようなのですが、 なぜπ/4となるのかがわかりません。 どのように考えればいいのでしょうか? わかりにくくて申し訳ありません・・・。
- cubicroot
- お礼率15% (22/139)
- 数学・算数
- 回答数2
- ありがとう数2
- みんなの回答 (2)
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
>どうもrとθの範囲がr≧0、0≦θ≦π/4とならなければならないようなのですが、 π/4は間違いで、0≦θ≦π/2 が正しいですね。 2次元のXY座標の第一象限全体が積分領域(0≦x<∞,0≦x<∞)を極座標に変数変換すると 極座標(r,θ)での第一象限全体の積分領域は (0≦r<∞、0≦θ≦π/2)となりませんか? (単位円で考えると分かりやすいですね。) ちなみに 0<θ<π/2 が第一象限 π/2<θ<π が第二象限 π<θ<3π/2 が第三象限 3π/2<θ<2π が第四象限 ですね。
その他の回答 (1)
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
もとの x, y による積分範囲を図示して, 変換した後の r, θ の範囲がどうなるかを考えてください. でも, θ を π/4 までとするのはあんまり普通じゃない気がする. 多くは π/2 までじゃないかなぁ. 別にいいけど.
関連するQ&A
- 広義積分
広義積分の問題なのですが,変数変換をすると,積分範囲がどうしても0→0になってしまいます…。 問題は D={(x,y)∈R^2|ε^2≦x^2+y^2≦1} lim(ε→0) ∬{(x^2-y^2)/(x^4+y^4})dxdy という問題なのですが,これを x=rcosθ,y=rsinθ,ヤコビアン=r D'={(r,θ)∈R^2|ε≦r≦1,0≦θ≦2π} ∫(1/r)dr∫{(cos^2θ-sin^2θ)/(cos^4θ+sin^4θ)}dθ =∫(1/r)dr∫{cos2θ/((cos^2θ+sin^2θ)^2-2cos^2θsin^2θ)}dθ =∫(1/r)dr∫{cos2θ/(1-(sin2θ)^2/2)}dθ =∫(1/r)dr∫{2cos2θ/(2-(sin2θ)^2)}dθ ここでt=sin2θと変数変換しようとしたのですが, そうすると積分範囲が0→0になってしまします。。。 どこか間違っているのでしょうか?? どなたか解説お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義の二重積分の求め方
次の問題が途中までしかわかりません。 問:次の広義の二重積分を求めよ。 ∬[D] (x^2)(e^(-x^2-y^2))dxdy D:{x≧0 y≧0} {Dn}を原点を中心とした半径nの円とDとの共通部分とすれば、{Dn}はDの近似増加列である。ここで、x=rcosθ,y=rsinθに変換し計算すると、 ∫dθ∫(r^2)((cosθ)^2)(e^(-r^2))rdr (θの積分範囲:0→π/2、 rの積分範囲:0→n) =-(π/32)(4e^(-n^2)n^3 + 6e(-n^2)n^2 + 6e(-n^2)n + 3e(-n^2) - 3) となりました。(この計算は少し自信がありません) 残りの、n→∞にとばす計算の仕方がわかりません。 因みに、答えはπ/8 です。 どなたかご教授お願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分 球面座標変換 数学
(1)~(3)の広義積分を解いてください、お願いします (1) I=∬∫D 1/(x^2+y^2+z^2)^2 dxdydz D:1≦x^2+y^2+z^2,x≧0,y≧0,z≧0 (1≦x^2+y^2+z^2≦a^2,x≧0,y≧0,z≧0として球面座標変換を行う) (2)I=∬D {log(x^2+y^2)}/(x^2+y^2)^(1/2) dxdy D:0≦x^2+y^2≦4,x≧0,y≧0 (3)I=∬D {e^-(x^2+y^2+z^2)}/(x^2+y^2+z^2)^(1/2) D:1≦x^2+y^2+z^2,x≧0,y≧0,z≧0 (4) I=∬[D] 1/(x^2+y^2+z^2)^(1/2)dxdydz D:{(x,y,z)|1≦x^2+y^2+z^2≦16,x≧0,y≧0,z≧0} 球面座標変換を用いること 球面座標変換 x=rcosφsinθ, y=rsinθsinθ, z=rcosθ を用いること D ⇒ E:{(r,θ,φ)| 0≦r≦4, 0≦φ≦π/2, 0≦θ≦π/2} E:{(r,θ,φ)| 1≦r≦4, 0≦φ≦π/2, 0≦θ≦π/2}なぜこうならないのかも教えてください
- 締切済み
- 数学・算数
- 広義積分教えてください
次の問題説いてください (1) 空間上の(x,y,z)を極座標(r,θ,φ) x=rsinθcosφ , y=sinθsinφ , z=rcosθ に変換するときヤコビアンを求めよ (2) 広義積分 I(a)=∫∫∫(exp-(x^2+y^2+z^2))/((x^2+y^2+z^2)^a) dxdydz 積分範囲はすべて-∞~+∞ についてa=1/2の時のI(1/2)を求めよ (3) I(a)が収束するaの範囲を求めよ (4) 広義積分 J(a,b)=∫∫∫1/((x^2+y^2+z^2)^a)*(|log(x^2+y^2+z^2)|^b) dxdydz が収束するようなa,bの満たすべき条件を求めよ 積分範囲B B={(x,y,z);x^2+y^2+z^2<1/4} (1)のヤコビアンは 行列式 ∂(x,y,z)/∂(u,v,w) を解いて(r^2)sinθ というところまではとけるのですがその後がわかりません よろしくお願いします
- 締切済み
- 数学・算数
- 重積分の積分範囲について。
重積分の積分範囲について。 質問させて頂きます。 ------------問題----------------- 以下の積分をせよ。 ∬D √x^2+y^2 dxdy D = {(x,y)|x^2+y^2 <= 2x} --------------------------------- 自分なりに考えてみました。 範囲 D より、(x-1)^2+y^2 <= 1 となり、 0 <= x <= 2 , -1 <= y <= 1 -(1); 次に極座標に変換する。 x=rcosθ , y=rsinθ とおく。 (1)より、0 <= θ <= π/2 , 0 <= r <= 1 (範囲 E とする。) よって、(与式) = ∬E r^2 drdθ ・・・・・以下省略・・・・ A. π/6 となったのですが、積分範囲に自信がありません。やっていいか分からない式変形をして。範囲を出したので、正しい範囲の出し方を教えてもらいたいです。これで合っているでしょうか。 分かる方、解答お願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 積分の変数変換について
積分の変数変換に関する質問です。一番簡単な直交座標から極座標への変換を例にします。 x = x(r,θ) = rcosθ. y = y(r,θ) = rsinθ. であるとき f(x,y) = 1 を x^2 + y^2 ≦ R^2 という円内を積分領域して積分すれば ∫∫f(x,y)dxdy = ∫∫dxdy = ∫∫rdrdθ ・・・・・・ (#) となり円の面積が求められます。つまり直交座標から極座標に変換して積分するときは dxdy →drdθ ではなく、 dxdy →rdrdθ としなければならないと、どんな参考書にも書いてあります。つまり r を余分に付け加えるわけですが、これは ┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐ |dx|=|cosθ -rsinθ||dr | |dy| |sinθ rcosθ||dθ| └ ┘ └ ┘└ ┘ |J| =|cosθ -rsinθ|= rcos^2θ- (-rsin^2θ) = r |sinθ rcosθ| のように行列式|J|でも求めることができ、|J|をヤコビアンと呼ぶということも参考書に載っています。 一方で rdrdθ= rdθ*dr は極座標における面積要素ですから(#)の変換は直感的にも納得できます。θは角度ですから drdθでは面積になれないわけです。(#)は具体的には ∫[0~2π]∫[0~R]rdrdθ で計算できます。この式だけじーっと見ていると、いつのまにか r とθが極座標の変数であることが忘れ(笑)、あたかもθを縦軸、r を横軸とする '直交座標' において関数 θ= r を積分していると見なせます。 で、ここからが質問なのですが・・・ 直交座標から任意の座標に変数変換して積分するということは、結局のところ、その任意の座標を直交座標と見なして計算することであると考えてよいのでしょうか? たとえば x = x(u,v,w) y = y(u,v,w) z = z(u,v,w) ┌ ┐ ┌ ┐┌ ┐ |dx| |∂x/∂u ∂x/∂v ∂x/∂w ||du| |dy|=|∂y/∂u ∂y/∂v ∂x/∂w||dv| |dz| |∂z/∂u ∂z/∂v ∂z/∂w||dw| └ ┘ └ ┘└ ┘ |∂x/∂u ∂x/∂v ∂x/∂w| |J| =|∂y/∂u ∂y/∂v ∂x/∂w| |∂z/∂u ∂z/∂v ∂z/∂w| であるとき dxdydz = |J|dudvdw という変数変換は、 u、v、w がどんな座標の変数であれ、最終的には u、v、w の '直交座標' で計算することであると考えてよいのかということです。 任意の座標同士の変数変換というのはどうなるのでしょうね。ちょっと想像しかねます。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 広義積分の計算なんですがどなたか頼みます。
広義積分の計算なんですがどなたか頼みます。 E={(x,y):(x^2)+(y^2)≦e^2、-x≦y≦x、0≦x} ∬[E]log[√((x^2)+(y^2))]dxdyを求めよ。 よろしくお願いいたします
- ベストアンサー
- 数学・算数