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広義積分

  • 質問No.5622097
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お礼率 15% (22/139)

広義積分の問題で、

∫e^(-x^2) x=[0,∞] (インテグラルeのマイナスx二乗乗)

の解が√π/2であることを示すのに、
(与式)^2=∬e^{-1/2(x^2+y^2)} dxdy
(与式の二乗は、eの{マイナス二分の一(xの二乗+yの二乗)}乗}をx=[0,∞]、y=[0,∞]で面積分したものに等しい、つまりπ/4)

となるのを利用して、極座標に変数変換することによって解けとあったのですが、
これをx=rcosθ、y=rsinθとして計算すると、
どうもrとθの範囲がr≧0、0≦θ≦π/4とならなければならないようなのですが、
なぜπ/4となるのかがわかりません。
どのように考えればいいのでしょうか?

わかりにくくて申し訳ありません・・・。

質問者が選んだベストアンサー

  • 回答No.1
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ベストアンサー率 67% (2650/3922)

>どうもrとθの範囲がr≧0、0≦θ≦π/4とならなければならないようなのですが、
π/4は間違いで、0≦θ≦π/2 が正しいですね。

2次元のXY座標の第一象限全体が積分領域(0≦x<∞,0≦x<∞)を極座標に変数変換すると
極座標(r,θ)での第一象限全体の積分領域は
(0≦r<∞、0≦θ≦π/2)となりませんか?

(単位円で考えると分かりやすいですね。)

ちなみに
0<θ<π/2 が第一象限
π/2<θ<π が第二象限
π<θ<3π/2 が第三象限
3π/2<θ<2π が第四象限
ですね。

その他の回答 (全1件)

  • 回答No.2

ベストアンサー率 23% (3656/15482)

もとの x, y による積分範囲を図示して, 変換した後の r, θ の範囲がどうなるかを考えてください.
でも, θ を π/4 までとするのはあんまり普通じゃない気がする. 多くは π/2 までじゃないかなぁ. 別にいいけど.
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