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広義積分

広義積分の問題で、 ∫e^(-x^2) x=[0,∞] (インテグラルeのマイナスx二乗乗) の解が√π/2であることを示すのに、 (与式)^2=∬e^{-1/2(x^2+y^2)} dxdy (与式の二乗は、eの{マイナス二分の一(xの二乗+yの二乗)}乗}をx=[0,∞]、y=[0,∞]で面積分したものに等しい、つまりπ/4) となるのを利用して、極座標に変数変換することによって解けとあったのですが、 これをx=rcosθ、y=rsinθとして計算すると、 どうもrとθの範囲がr≧0、0≦θ≦π/4とならなければならないようなのですが、 なぜπ/4となるのかがわかりません。 どのように考えればいいのでしょうか? わかりにくくて申し訳ありません・・・。

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  • info22_
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回答No.1

>どうもrとθの範囲がr≧0、0≦θ≦π/4とならなければならないようなのですが、 π/4は間違いで、0≦θ≦π/2 が正しいですね。 2次元のXY座標の第一象限全体が積分領域(0≦x<∞,0≦x<∞)を極座標に変数変換すると 極座標(r,θ)での第一象限全体の積分領域は (0≦r<∞、0≦θ≦π/2)となりませんか? (単位円で考えると分かりやすいですね。) ちなみに 0<θ<π/2 が第一象限 π/2<θ<π が第二象限 π<θ<3π/2 が第三象限 3π/2<θ<2π が第四象限 ですね。

その他の回答 (1)

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.2

もとの x, y による積分範囲を図示して, 変換した後の r, θ の範囲がどうなるかを考えてください. でも, θ を π/4 までとするのはあんまり普通じゃない気がする. 多くは π/2 までじゃないかなぁ. 別にいいけど.

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