一様分布の確率密度関数【応用】

質問

確率変数Xが[1,2]で一様分布に従うとします。つぎに、確率変数Yが[0,2X]で一様分布に従うとします。このとき、Yの確率密度関数はどのように求めたらよいのでしょうか？

回答No.2

arrysthmia

そうか。期待値でいいんですね。
X,Y の同時確率密度関数を f(X,Y) と書くと、
ベイズの式（条件付確率の定義）P[A∧B] = P[B|A]・P[A] より
f(X,Y) dx dy = f(Y|X) dy f(X) dx です。
Y の周辺確率密度は、
f(Y) = ∫f(X,Y) dX = ∫f(Y|X) f(X) dx となって、
要するに、f(Y|X) の X に関する期待値ですね。

No.1 では、計算違いをしたようです。
f(X,Y) = 1/(2X) ではなくて、正確には、
f(X,Y) = { 1≦X≦2 かつ 0≦Y≦2X のとき } 1/(2X)
　　　　= { それ以外のとき } 0
ですから、
f(Y) = ∫[-∞＜X＜∞] f(X,Y) dX
　　= { 0≦Y≦2 のとき } ∫[1≦X≦2] 1/(2X) dX = log√2
　　= { 2≦Y≦4 のとき } ∫[1≦X≦Y/2] 0 dX + ∫[Y/2≦X≦4] 1/(2X) dX = log(2/√Y)
です。
これなら、ちゃんと ∫f(Y) dY = 1 になりますね。

回答No.1

arrysthmia

Y の確率密度関数は、あくまで、一様分布の P'(Y) = 1/(2X) です。
X の分布 P'(X) = 1 を加味した、「Y の確率密度の期待値」は、
∫[1≦X≦2] P'(Y)・P'(X) dX = ∫[1≦X≦2] dX/(2X) = (log 2)/2 ですが、
それを「Y の確率密度」と呼ぶのは、微妙に違うと思います。

補足

f(.)を確率密度関数とします。Xが与えられれば、Xを定数と見なせますから、Yの条件付き確率密度関数は、f(Y|X)=1/2Xです。問題はf(Y)が何かということです。