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確率変数の変換について（2つの確率変数の和）
毎々お世話になっております． このたびは，2変数の確率変数の変換について質問させていただきます． ［問］ X1およびX2はi.i.d.でそれぞれ[0,1]の区間で一様に分布している． Y=X1+X2の確率密度関数を求めなさい． 上記の問いに関してですが， X1,X2の密度関数はf(xi)=1 for 0<=Xi<=1 i=1,2 であり， 同時確率はf(x1,x2)=1 for 0<=x<=1 であるというところまでは分かりました． また，X１＝Y－Z，X2=Zとすることで，ヤコビヤンJ＝１であるというとろこまではできました． しかし，これ以降，どのように考えれば良いのかが分かりません． 直感的に，X1とX2が一様に分布しているために，Y=X1+X2は0<=y<=2の範囲に分布し， y＝１のときにg(y)が最大になるのであろうと考えられ， g(y)=y for 0<=y<=1 g(y)=2-y for 1<y<=2 1という確率密度関数になるであろうことは分かります． このような考え方が正しいかどうかも含めて，この問題の解法をご教示いただけないでしょうか？ 何卒よろしくお願いいたします．
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X1とX2の密度をp(x)とする X1とX2が独立だから (X1,X2)の密度はp(x1)・p(x2)となる よってZ=X1+X2の分布は F(z)=∫∫[x1+x2<z]dx1dx2・p(x1)・p(x2) よってZ=X1+X2の密度はF'(z)である F'(z)を求めて補足にかけ なおδ関数を知っていればh(x)をヘビサイド関数として F(z)=∫∫dx1dx2・p(x1)・p(x2)・h(z-x1-x2) をzで微分すればよいのだから解は瞬時に求まる
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