【指数分布】確率変数の和

質問

X1,X2,...,Xnは互いに独立な確率変数であり、
それぞれ指数分布 f(x)=1/λ*exp(-x/λ) (x>0)
に従います。
確率変数 Yk=X1+X2+...+Xk の確率密度関数をfk(x)
とするとき、
（１）fk(x)=∫[0,∞]fk-1(x-t)f(t)dt (x>0) を示せ。
（２）fn(x)を求めよ。
（３）確率変数 Yk=X1+X2+...+Xk の期待値、分散を求めよ。
との問題なのですが、

（１）について、
XとYが独立であるとき、Z=X+Yの確率密度関数fZ(z)は
畳み込み積分で与えられるので、
fZ(z)=∫[-∞→∞]fX(x)fY(z-x)dx を...と考えたのですが
上手く証明ができません。

また、（２）について、
指数分布が事象が起きる時間間隔が従う分布だということから
要は、n回の事象が起きるまでの時間と考え、
fn(x)=n/λ
だとは思うのですが、よくこれは特性関数から計算すれば良いのでしょうか...

どなたか数学に詳しい方が居られましたら、
ご教授のほどよろしくお願いいたします。

回答No.2

Tacosan · ベストアンサー

「畳み込み積分がいまいち理解できていない」の「いまいち」がどこからを指すのかわかりませんが, とりあえず「畳み込み積分で確率変数の和の確率密度関数が表せる」ことがわかっていれば (1) は難しくないはず... というか, ほぼ「畳み込みで書ける, 終わり」のレベル. ヒントは
X1+X2+...+Xk = (X1+X2+...+X(k-1)) + Xk.

で (2) はすっとばして (3) については, 確率変数 X の期待値を E[X], 分散を V[X] で表すことにすると, 2つの確率変数 X, Y に対して
・E[X+Y] = E[X] + E[Y]
・X と Y が独立なら V[X+Y] = V[X] + V[Y]
であることを知っていれば簡単. (1) や (2) とは無関係に解けてしまう.

お礼

返信ありがとうございました！
「独立」をうまく利用して解くことが大事なのですね。
大変勉強になりました！
ありがとうございした。

回答No.1

Tacosan

(1) 「上手く証明ができません」とはどういうことでしょうか? 具体的にはどの辺までできてどこで困っているのですか?

(2) fn(x) の x はどこへいったのですか?

ついでに (3) は「独立」でほぼ終わり.

補足

回答頂き、ありがとうございます！

(1)畳み込み積分で確率変数の和の確率密度関数が表せる、
という知識だけはあるのですが、
畳み込み積分がいまいち理解できていない状態なので、
どう証明すれば良いかの方針が立たずにいます...
(2)そうでした、その時点でまちがっていますね(*_*)
(3)「独立」でほぼ終わりとは...どういうことでしょうか
指数分布の特性関数を考えると良いのでしょうか？

お手数ですが、どうぞ宜しくお願いいたします。