- ベストアンサー
正規分布＋指数分布
確率変数の和の分布について、教えて下さい！ Xは平均μ、標準偏差σの正規分布に従うとします。 Yは平均 1/λ の指数分布に従うとします。 このとき、X+Yの従う確率分布を求めることは出来ますか? Xは全ての実数に対して定義されていて、Yは正の実数に対して定義されていると思うのですが、和の分布を考えても良いのでしょうか？ また、その確率密度関数はどのようになるのでしょうか？ 会社で読まされている電気関係の資料に出てきたのですが、大学時代に統計をきちんと勉強してこなかったので困ってます。 宜しくお願いします。
- mahler_63
- お礼率55% (11/20)
- 数学・算数
- 回答数4
- ありがとう数3
- みんなの回答 （4）
- 専門家の回答
質問者が選んだベストアンサー
Zは知りません。 Xについてはすべての領域で積分する必要があります。しかし、方法は自由です。 Xの値域が決まっているならそれはすでに正規分布ではないものになります。 指数分布は負の領域で0なら0ですので、まあ適当に区間を区切ることになるでしょう。 それらはあくまで積分のテクニックですので、自分で普通に解いてください。 大事なのはX+Yの確率分布は、その値となるXとYの組み合わせの生起確率をすべて足しあわせたものと言うことです。
その他の回答 (3)
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
Z って私の書いた #1 にしか出てこないんだけど.... さておき, 「正規分布」は全ての実数値をとることができるので「正規分布+なにか」も当然全ての実数値をとることができます.
お礼
有難うございます。 …Z、そうですね。 正規分布＋なにものか、と理解すれば良かったんですね。
- k_kota
- ベストアンサー率19% (434/2186)
まず、変数が独立であるという仮定が必要です。 電気だと雑音とかですかね？多分大丈夫だと思いますけど独立してないならその情報がないと無理です。 あとは簡単、確率密度関数の積分をすればいい。 例えば結果がaになるのはX=a-Yの時ですね。 なので、すべてのXの範囲でP(a)＝∫(Xの確率密度関数)(a-Yの確率密度関数) を求めればいい。 a-Yの確率密度関数が分からないとかは言わない様に、シフトするだけ。 んで、上記で求めたaの関数P(a)がX+Yの確率密度関数になります。 説明は下手くそですが内容はあってると思います。
補足
有難うございます。 ところで、Zの定義域は実数全体になるんでしょうか？ Xの範囲で積分、ということですが、正負で分けなくて大丈夫でしょうか？ よろしく願いします。
- Tacosan
- ベストアンサー率23% (3656/15482)
当然和の分布を考えることはできるけど, 密度関数を解析的に求めるのは不可能じゃないかなぁ. 誤差関数 erf とかをもってくればできるけど, 「解析的に求める」ことを放棄したことにかわりはないし. 一応流れだけ書くと Z = X+Y の分布を考えればいいので Y = Z-X. つまり Z = z における確率密度は 正規分布の確率密度(x)×指数分布の確率密度(z-x) を z-x ≧ 0 の範囲で積分すればいい... だったかな?
関連するQ&A
- 幾何分布と指数分布の関係
確率変数Xが平均λ＾-１の指数分布に従っているとする。実数xに対して[x]をxを超えない最大の整数と定義して、整数値のみをとる確率変数Y=[X]はどんな分布に従うかを考えるときに 指数分布は幾何分布の連続版のようなものだと聞いたことがあるので幾何分布になるのだろうと思いますがこれはどのように説明したらよいのでしょうか？？またそのときパラメータｐはどのようになるのでしょうか？？教えてください。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正規分布に従う確率変数同士の積の分布について
確率変数X,Yがそれぞれ正規分布N(X|μx, σx^2),N(Y|μy, σy^2)に従っているとき，Z=X*YとおくとZの分布はどのような分布になるのでしょうか，またどのように導出すればよろしいでしょうか．参考になるHP等あればお教えください． 調べたところ，確率変数同士の和の分布について(Z=X+YのときのZの分布)は，畳み込みで求めるられ，また，正規分布に従う確率変数の自乗の分布はカイ２乗分布であることも分かりました． これらを参考にZ=X*YのときのZの分布を求めようと，畳み込み同様に変数変換を行い積分をしようとしたのですが指数部の中が複雑になり積分が手に負えなくなってしまいます...
- 締切済み
- 数学・算数
- 正規分布の再帰性について
現在大学生です。 統計学に関しての質問です。 互いに独立な2つ正規分布に従う確率変数の和の分布は正規分布になりますが、 完全に従属な2つの正規分布に従う確率変数の和の分布は正規分布になるのでしょうか。 例えば、ある正規分布に従う1つの確率変数の定数倍の分布は正規分布になるのでしょうか。 単純そうなのですが、考えれば考えるほど分からなくなるので、納得ができる説明をしていただけると幸いです。 よろしくお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 相関がある2つの正規分布
確率統計の試験の過去問題で分からない問題があったため質問させていただきました。問題分の内容は以下になっています。 （問題） Xは平均1、分散4の正規分布に従い、Yは標準正規分布に従う確率変数である。またXとYの相関係数は0.5である。X+Yが0以下になる確立を求めなさい。 互いに独立な時は正規分布の再生性よりX+YがN（1,4）に従うのですが相関があるときにどうすればよいかが分かりません。 宜しくお願い致します。
- 締切済み
- 数学・算数
- 標準正規分布について
１）標準正規分布に従う乱数を、平均μ、分散σ^2の正規乱数に変換したい。どのようにしたらいいか。その理由も考えよ。 という問題についてですが 乱数をXとした時 Y = X・σ + μ とする。 というのはわかるのですが（ほぼ公式なので。。。) 理由についてはどう書けばいいのでしょうか？ また ２）確率変数Xが(0,1)の範囲で一様分布に従う時、Y=1-Xと変換すれば、Yはまた一様分布となることを示せ。 という問題なのですが Xの密度関数から１－Xの密度関数を求めるということは以前こちらで教えていただいたのですがヘビサイド関数というのが用いられていて解法をよく理解できませんでした。 実際の解法手順等含めまして丁寧に教えていただけませんでしょうか？よろしくお願いいたします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 正規分布の問題
こんばんは。 正規分布の問題ですが、最近統計学を学び始めたので、全く理解できません。 どなたかご教示よろしくお願い致します。 解法を教えて頂けると助かりますが、お手数でしたらプロセスだけでもお願い致します。 問題 サイコロを42000回投げて出た目の総和がある値以上となる確立を0.002以下としたい。この値の最小値はおよそいくらか。 ただし、目の出る確率は1/6ですべて等しく、何回目にどの目が出るかは互いに独立な事象である。 なお、確立変数Zの平均E(Z),分散V(Z)が存在するとき、関係式 V(Z)=E(Z^2)-E(Z)^2 が成り立つ また、{Xi} (i=1,2,..,n) が互いに独立かつ同一の確率分布に従う確率変数列で、E(Xi), V(Xi)が有限ならば、nが十分大きいとき、Y=ΣXiは近似的に正規分布に従うとみなせる。 さらに確立変数Yが正規分布に従うならば、(Y-E(Y))/√(V(X))は標準正規分布に従い、標準正規分布の確立密度関数, f(x)=1/√(2π)・e^-x^2/2 に対し、 ∫f(x)dx=0.002 (x; 2.88～+∞) とする。 解は148000です。よろしくお願い致します。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 標準正規分布、確率変数、変数変換
Y,Zが独立で標準正規分布にそれぞれ従っている時に X = 1/2 (Y^2+Z^2+2YZ) で定義された確率変数Xはどのような分布に従いますか？ 平均と分散ならすぐに出せますけど分布はどうなりますか？
- 締切済み
- 数学・算数
お礼
有難うございます。 「X+Yの確率分布は、その値となるXとYの組み合わせの生起確率をすべて足しあわせたもの」 という説明でしっくりきました。 頑張って積分してみます。