統計学での確率変数Xと観測値xの使い分けについて

質問

全く別物だと思うのですが、理解できなくて質問いたします。

確率変数Xは、その値をとる確率が決まっている変数であり、
観測値xは、ただ実際に出現した値、であることは理解しています。
確率密度関数では横軸が確率変数であり、Pr(X)の値が縦軸である、というのがわかりやすかったです(以下ブログを参考)。
https://bellcurve.jp/statistics/blog/14006.html

１）しかし、この考えでは次のブログのことを理解できませんでした。
http://igakubugakushi.com/ctl1/
互いに独立であり、同一分布に従う確率変数X1、、、Xnとあります。１つの確率密度関数には、複数の観測値xを決まった確率で取りうる確率変数Xが１つある理解でした。１つの確率密度関数に複数の独立の確率変数があるというのはどういうことでしょうか。

２）
また、同じブログの「母集団が正規分布だった場合」
http://igakubugakushi.com/interval-estimation1/
X1～N(μ、σ²）
　：
Xn～N(μ、σ²）とすると、正規分布の再生性により、
x1～＋xn～N（ｎμ,nσ²）
よって、x⁻(観測値xの平均)～N（μ,σ²/2）
との記述があります。複数の確率密度関数が同じ正規分布に従っている、のは一先ずおいておくとして、そのあとの正規分布を再生する観測値x1～xnは、どの確率分布から出てきたものなのでしょうか？

３）また、２）で出てきた、x1～＋xn～N（ｎμ,nσ²）　→　x⁻(観測値xの平均)～N（μ,σ²/2）
になるのはなぜでしょうか？x⁻～N（μ、σ²）ではないですか？（ｎで全てを割るのであれば）

ただのブログの書き間違えなのか、私がよくわかっていないのかわからず、解説いただきたいです。

回答No.1

noname#256179 · ベストアンサー

1.
>１つの確率密度関数に複数の独立の確率変数があるというのはどういうことでしょうか。
たとえば、n回のコイン投げは、独立かつ同じ確率分布（半々の確率で1か0）にしたがうn個の確率変数で表せる、ということです。離散分布の例ですが。

２．
>そのあとの正規分布を再生する観測値x1～xnは、どの確率分布から出てきたものなのでしょうか？
たぶん大文字X1,...,Xnと同じもの、つまり正規分布N(μ, σ^2)に従う独立な確率変数でしょうね。

3.
>また、２）で出てきた、x1～＋xn～N（ｎμ,nσ²）　→　x⁻(観測値xの平均)～N（μ,σ²/2）
になるのはなぜでしょうか？x⁻～N（μ、σ²）ではないですか？（ｎで全てを割るのであれば）
x⁻(観測値xの平均)～N（μ,σ²/n）ですよね（σ²/2ではなく）。分散をとるとき1/nは1/(nの2乗)になるからです。一般に、Xの定数倍aXの分散を計算したらどうなるかを考えればわかります。

お礼

例を示していただいてよく理解できました。ありがとうございます。

回答No.2

vgemash

1）複数の独立な確率変数X1、X2、...、Xnが同一の分布に従っている場合、これらは1つの確率密度関数で表現できます。例えば、すべての確率変数が標準正規分布に従っている場合、これらの確率変数の確率密度関数は1つの正規分布関数となります。

2）x1～xnは、それぞれ独立に同じ正規分布から生成された観測値であり、その分布は標準正規分布からの変換を経てN（ｎμ,nσ²）となります。

3）x1～xnの平均値であるx⁻は、x1～xnから計算された確率変数であり、その分布はN（μ、σ²/n）に従います。従って、x⁻の分散はσ²/nとなります。したがって、x⁻の分布はN（μ、σ²/n）となります。

お礼

ご回答どうもありがとうございます。