独立関数変数の問題を解いてるのですが・・・

質問

独立関数変数の問題を解いてるのですが・・・
X1,X2,....,Xn,....は標準正規分布に従う独立関数変数とする

P（│X1+・・・+Xn/ｎ│≦ε）＝２∫ε√n 1/√2π・eの-x二乗/２ dx
0
を示せ（上はインテグラルの範囲が０からε√nという意味です）

X１+・・・+Xnの大きさが０．０１より小さい確率が０．９５以上であるためにはｎはどの程度の大きさが必要か決定せよ。I（z）=∫ｚ 1/√2π・eの-x二乗/２　dxとおくと、I(1.96)=0.475となることを参考にして
　　　　　　　　　　　　　　　 0
よい。

みにくくて申し訳ありません。
教科書とにらめっこ状態なので誰かお助けお願いします。

回答No.2

noname#227064 · ベストアンサー

前半の解き方は#1さんが回答しているとおり、正規分布の再生性を利用しましょう。
後半は前半の結果を利用しますが、問題が少しおかしいですね。

> X１+・・・+Xnの大きさが０．０１より小さい確率

は、「(X１+・・・+Xn)/nの大きさ」の間違いなのでは？
そうでないいと0.01より小さい確率が0.95以上になるnが存在しません。

「(X１+・・・+Xn)/nの大きさ」が正しいとして、
P（│(X1+・・・+Xn)/n│≦0.01）
= ２∫[0,0.01√n] 1/√2π・eの-x二乗/２ dx　　（積分範囲は[]内に記載）
= ２I(0.01√n)
からnの大きさを求めましょう。

#1さん

> 積分の式が、少し違うんじゃないかな。

(X1+…+Xn)/√n の確率密度関数なので問題ありません。

お礼

ご指摘の通りの記載ミスでした。すいません。
I（１．９６）＝0.475というのはどこで使えばいいんですかね？
重ね重ねですいません

回答No.4

noname#227064

> I（１．９６）＝0.475というのはどこで使えばいいんですかね？

求めたいのは、
P（│(X1+・・・+Xn)/n│≦0.01）= ２I(0.01√n) >= 0.95
を満たすようなnですが、I(1.96)=0.475を使えば、
２I(0.01√n) >= 0.95 = 2 * 0.475 = 2I(1.96)
つまり
I(0.01√n) >= I(1.96)
となるようなnを求めればよいことがわかります。

あとは、0.01√nと1.96を比較することでnがわかりますが、
0.01√n >= 1.96
0.01√n <= 1.96
のどちらになるかはわかりますよね？
わからない場合は
I(0.01√n) - I(1.96) >= 0
を積分に戻って考えればわかるかと思います。

お礼

何から何まで丁寧に教えてくださり感謝です！！

回答No.3

alice_44

(X1+…+Xn)/n でしょ？

って、ああ。置換積分するのか。
(X1+…+Xn)/n が Ｎ(0,1/n) に従うから、
(X1+…+Xn)/√n が Ｎ(0,1) に従う訳ね。

回答No.1

alice_44

積分の式が、少し違うんじゃないかな。

「正規分布の再生性」ってやつがあって、
正規分布する互いに独立な確率変数の和を
新たな確率変数と見ると、この確率変数も
正規分布に従い、その平均と分散は、
もとの正規分布の平均の和風と分散の和になる。

これによれば、X1…Xn が N(0,1) に従うとき、
(X1+…+Xn)/n は N(0,1/n) に従う。
質問文中の (X1+…+Xn)/n の確率密度関数は、
そうなっていませんね。

お礼

再生性というのが載っていないほどの教科書でした・・・。証明までできるかわかりませんがすごく重要な情報いただきありがとうございました。