統計学での確率変数Xと観測値xの使い分けについて２

質問

確率変数は数量が対応付けられていてある数値になる確率が決まっている変数、と理解しています。確率変数X～N(μ,σ²）ならば、確率変数Xは横軸にあたり、ある変数になる確率が縦軸で表されていて、すなわち、μを平均値として分散σ²の正規分布になる、というイメージでした。また最近、確率変数がX1、X2、、、Xｎと存在することがあり、これは同じ確率密度関数から複数回施行して、１回目をX1、二回目をX2にする等すれば有りうるようです(確率変数Ｘを分解している？)。

以下質問です。次のサイトの、「解放の手順」についてが主な質問です。
http://igakubugakushi.com/mean-difference-t-test1/
１）②に、正規分布の再生性より確率変数の和X1＋X2＋、、、＋Xn～N(nμ、nσ²）よって、X⁻(確率変数の平均)～N(μ、σ²/n）
と記述があります。これは間違っていませんか？正規分布の再生性とは、母集団から一度抽出しているサンプルx1～xnも、正規分布になりますよ、ということですよね。スモールエックス￣～N(μ、σ²/n）ではないですか？

２）もしくは、同じ②に、
正規母集団N(μ、σ²）から無作為に得られた標本 n 個をX1、X2、X３…Xnのように定めると、正規分布の再生性より確率変数の和 X1+⋯+Xn は N(nμ, nσ21) に従う。
とありますが、X1、X2は標本値と定義するのであれば、そのあとの確率変数の和、という記述はおかしくないですか？ラージエックスは確率変数では既にないと思うのですが。

３）同じページに問題１があり、標本平均X⁻＝64.2、とあります。標本平均とあるので、この場合問題ないのですが、なぜスモールエックスで書かないのですか？統計学ではよくあるのですか？単なる間違いですか？

回答No.1

noname#256179 · ベストアンサー

1)
>正規分布の再生性とは、母集団から一度抽出しているサンプルx1～xnも、正規分布になりますよ、ということですよね
違います。正規分布に従う確率変数の和も正規分布に従うということです。
>スモールエックス￣～N(μ、σ²/n）ではないですか？
確率論の慣習では確率変数を大文字で表します。それがとりうるいろいろな値を小文字で表します。なので、大文字か小文字かは、確率変数なのか単なる数値なのかで判断します。標本や標本平均も、それを（正規分布などの）何らかの分布にしたがって確率的に決まる確率変数として考えているなら、大文字で表すのは自然です。文脈から、確率変数の話をしているのかどうかを読み取るのが大切だと思います。（もちろん例外もあって、確率変数も小文字で表すこともあります。厳格なルールではありません。）

2)
>X1、X2は標本値と定義するのであれば、そのあとの確率変数の和、という記述はおかしくないですか？ラージエックスは確率変数では既にないと思うのですが
1)での回答と重なりますが、標本はランダムに抽出するので、観察する前は確率変数であると考えます。そうしないと、標本の分布について論じることができないので。

3) 標本平均X⁻＝64.2、とあります。標本平均とあるので、この場合問題ないのですが、なぜスモールエックスで書かないのですか？統計学ではよくあるのですか？単なる間違いですか？
2)での解答と重なりますが、標本をとって観察したら平均64.2だった、ということなので、確率変数X⁻の値が64.2であるという事象を表しています。そのような事象をX⁻=64.2のように書くのは確率論ではよくある表現です。
（厳密には、確率変数Xとは何らかの標本空間上で定義された可測関数X(ω)であり、その値がaであるという事象はX(ω)=aを満たすωの集合のことです。それを{X=a}と書くのです。偉そうなことを書くようですが、なんとなくのイメージで先に進もうとすると誤解が雪だるま式にふくらんで、かえって効率が悪いです。まずはじっくり数理統計学などの教科書を読んでみては。）

お礼

ご回答ありがとうございます。
漫画で分かる統計学とか、統計学入門だとかごく簡単な本は読み、いざ実践問題を解いてみようと思うと全然わからず、これらブログを参考になんとか解こうとしていました。
おっしゃる通り発展的な本を一冊読んでみたほうがいいのかもしれない、、と思います。
ありがとうございます。

回答No.2

noname#256179

下記の回答の訂正です：
再生性の定義で、独立性の条件が抜けてました。足される確率変数は独立でないといけません。