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統計学 確率変数変換後の期待値
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E[Y]=∫[-∞~∞](ax+b)f(x)dx が正しい 勿論、Y=aX+bの確率密度をg(y)とすれば E[Y]=∫[-∞~∞]yg(y)dy である ちなみにa≠0の場合g(y)は次の様に求められる g(y) =d(∫[-∞~∞]h(y-(ax+b))f(x)dx)/dy =∫[-∞~∞]δ(y-(ax+b))f(x)dx =∫[-∞~∞]δ(x-(y-b)/a)/|a|f(x)dx =f((y-b)/a)/|a| h:ヘビサイド関数:t<0でh(t)=0,0<tでh(t)=1 δ:ディラックのδ関数:δ(t)=h'(t)
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- reiman
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書き忘れ追加 またa=0の場合g(y)は次の様に求められる g(y) =d(∫[-∞~∞]h(y-b)f(x)dx)/dy =∫[-∞~∞]δ(y-b)f(x)dx =δ(y-b)∫[-∞~∞]f(x)dx =δ(y-b)
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