確率変数

質問

[0,1]に一様に連続に分布する確率変数をXとする{f(x)=1(0≦x≦1),f(x)=0(x≦0,x≧1)。確率変数Xを用いて、g(y)=y-2 (2≦y≦3),g(y)=-y+4(3≦y≦4),g(y)=0(y≦2,y≧4)のように分布する確率変数Y=φ(X)をつくるにはφ(x)をどのように定義すればよいでしょうか？

y-2を2からyの積分と,-y+4を3からyまで積分するという行程は必要ですか？

回答No.4

solla · ベストアンサー

> 積分するとそれぞれG(y)=(y-2)^2/2,G(y)=-(y-4)^2/2+31/2となりますが
> これを値域[0,1]で逆関数はどうすれば求まりますか？

[3, 4] の G(y) が少々違うようです。 -∞からの積分になることにも注意してください。

G(y) は

0　　( y ＜ 2 )
( y - 2 )^2 / 2　　( 2 ≦ y ≦ 3 , 0 ≦ G(y) ≦ 1/2 )
- ( y - 4 )^2 / 2 + 1　　( 3 ≦ y ≦ 4 , 1/2 ≦ G(y) ≦ 1 )
1　　( 4 ＜ y )

になりますので、それぞれ G(y) = x とおいて、y について解けば逆関数 G^(-1)(x) となり、#2 さんの回答のようになります（ただし、#2 さんの回答では定義されているのですが、x の定義域は [0, 1] ですので、正確には x < 0 および 1 < x では関数は定義されません）。根号をとるときの符号は x = 1/2 で関数が連続になるという条件から正負いずれをとるか決まります。

> ヒントを見てみると答えは２つ出ることになりますか？

私の書き方が悪かったかもしれません。x の区間 [ 0, 1/2 ] と ( 1/2, 1 ]で関数形が変わるということです。

回答No.3

solla

一般に、確率密度関数 g とその累積分布関数 G が与えられれば、[0, 1] で一様分布に従う確率変数 x を G の逆関数 G^(-1) で y = G^(-1) (x) と変換すると、y は 密度関数 g(y) に従う確率変数となりますので、これを利用します。

> y-2を2からyの積分と,-y+4を3からyまで積分するという行程は必要ですか？

まず g(y) の累積分布関数 G(y) を求める必要がありますので、積分が必要になりますね。G(y) の値域は [0, 1] になりますので、その逆関数がどうなるかを考えれば、それが求めるべき φ(x) になります。

ヒント：ご質問の場合は φ(x) は [0, 0.5] と (0.5, 1] の区間でそれぞれ考えることになるかと思います（0.5はどちらに含めても構いませんが）。

補足

> y-2を2からyの積分と,-y+4を3からyまで積分するという行程は必要ですか？

積分するとそれぞれG(y)=(y-2)^2/2,G(y)=-(y-4)^2/2+31/2となりますがこれを値域[0,1]で逆関数はどうすれば求まりますか？
ヒントを見てみると答えは２つ出ることになりますか？

回答No.2

guuman

φ（ｘ）＝２　（ｘ＜０）
φ（ｘ）＝√（２・ｘ）＋２　（０＜ｘ＜１／２）
φ（ｘ）＝４－√（２・（１－ｘ））　（１／２＜ｘ＜１）
φ（ｘ）＝４　（１＜ｘ）

回答No.1

kony0

２つの独立でかつ同一な一様分布に従う確率変数の和の分布はどうなりますか？

という「単純知識」を問う問題ですかね、きっと。

補足

どのような計算をすればよいのですか？
yが2から3までと3から4までの時の場合分けで計算しますか？そうだとしたら、その2つの式をどうすればよいですか？