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確率変数について
X_0, X_1, X_2, ... を確率空間（Ω，Ａ，Ｐ）上（Ａは完全加法族）で定義された確率変数列とする。ｇを（Ｒ，Ｂ）→（Ｒ，Ｂ）"Ｒは実数，Ｂはボレル集合族のこと"が連続関数であるとする。 このとき，X_nがX_0に確率収束するならば，g(X_n)はg(X_0)に確率収束することを示せ。 という問題が分かりません。 具体的には、 ｇが有界のとき，一様連続性より確率収束が導けるのですが，ｇが有界でない時，確率変数Ｘ＝Ｘ（ω）がωにも依存するため（ここで、任意の実数ｘ∈Ｒに対して， ｛ω｜Ｘ（ω）≦ｘ｝を満たすとき、Ｘを確率変数と言っている）、どうすれば確率収束が導けるのかが分かりません。ヒントだけでももらえると助かります。
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お礼
自己解決？しました。どうもエゴロフの定理を使えばよさそうな気がします。
補足
うわーまさにこのＷｅｂページを参考に授業で発表したんですが、先生にダメだしされました。この定理では、あるωに依存する確率変数に確率収束するのではなく、ただの定数に確率収束することを意味しています。したがって、この証明では解答になっていません。