連続確率変数の確率分布の問題です

質問

Xは確率密度関数
f(x)=3(1-x)^2 if 0<x<1
0 otherwise
をもつ。確率変数Xの関数g(X)=(1-X)^2の期待値をY=(1-X)^2の確率密度関数f_Y(y)を求め、E(Y)を計算して求めよという問題です。
単純にE(g(X))=∫[0,1]g(x)f(x)dxとして求めた場合3/5になりました。
よろしくお願いします。

回答No.3

kamiyasiro · ベストアンサー

#1さんの方法は高度なので、
次の公式を使用することを意図した設問だと思います。

『Xが連続型確率変数で、密度関数f(x)に従うとき、
Y＝g(X)：ここでg(X)は微分可能な単調関数とすると、
Yの密度関数h(y)は、

h(y)＝f(g_inv(y))[g_inv(y)]'　　：g(x)が単調増加のとき
h(y)＝－f(g_inv(y))[g_inv(y)]'　：g(x)が単調減少のとき

g_invはgの逆関数』

これでやってみたところ、#1さんが示したh(y)が求められましたし、
E(Y)も、ご質問者が解いたオーソドックスな方法の結果と一致しました。

高校の微分積分（部分積分）の範囲ですので、
ご自分で計算なさってみて下さい。

回答No.2

reiman

前半書き間違い：2/5→3/5

Y≡(1-X)^2の期待値を求めるだけならば
E(g(X))
=∫[-∞,∞]g(x)f(x)dx
=∫[0,1]g(x)f(x)dx
=3∫[0,1](1-x)^4dx
=3/5 <---- 修正箇所

回答No.1

reiman

Y≡(1-X)^2の期待値を求めるだけならば
E(g(X))
=∫[-∞,∞]g(x)f(x)dx
=∫[0,1]g(x)f(x)dx
=3∫[0,1](1-x)^4dx
=2/5
でよい。

しかしY≡(1-X)^2の確率密度関数pを求めるのは少し厄介だ。
hを単位ステップ関数としδをデルタ関数とするとh'=δである。
Yの確率分布関数をPとすると
P(y)=∫[-∞,∞]h(y-g(x))f(x)dx
なので
p(y)=P'(y)=∫[-∞,∞]h'(y-g(x))f(x)dx
=∫[-∞,∞]δ(y-g(x))f(x)dx
=∫[-∞,∞]δ(y-(1-x)^2)f(x)dx
=∫[-∞,∞]δ(y-s^2)f(1-s)ds
よってy<0でp(y)=0
0≦yのとき
p(y)=∫[-∞,∞]δ(y-s^2)f(1-s)ds
=∫[-∞,∞]δ(y-s^2)f(1-s)ds
=∫[0,1]δ(y-s^2)f(1-s)ds
=∫[0,1]δ(y-t)f(1-√(t))/(2√(t))dt
=f(1-√(y))/(2√(y))
よって1-√(y)<0すなわち1<yのときp(y)=0
0≦y≦1のとき
p(y)=f(1-√(y))/(2√(y))
=3y/(2√(y))
=(3/2)√(y)
まとめて
y<0のときp(y)=0
0≦y≦1のときp(y)=(3/2)√(y)
1<yのときp(y)=0