2変量の確率分布について

質問

統計学の勉強をしています。一様分布における2変量の確率変数についてわからなくなったので質問させてください。
　一様分布の確率密度関数はfx(x)=1/(b-a)ですが、b=1,a=0とするとfx(x)=1となりますよね。
　このことを踏まえて2変量t=x+y(yもxと同様の一様分布の確率でxとyは独立)を定義して、その確率密度関数はf(t)=∫fx(x)fy(t-x)dxで与えられますよね(ここで間違っていたならすみません…)
　そこでこの関数にfx(x)=1,fy(y)=1を代入して∫範囲を0から1(dxで積分ですから)に設定して積分をするとf(t)=1となってしまいました。
　このままtにおいてtの期待値を求めると∫(0,2)tf(t)dt=2となりました。(積分範囲はdtについてですから0から2までとしました)
　しかし、よく考えてみると0から2までの範囲の一様分布でその期待値となるのは普通1じゃないかと思います。
　計算が間違っているのか、そもそも考え方が違うのか、わかる方がいらっしゃったら、ご教授していただけませんでしょうか?よろしくお願いします。

回答No.4

sunasearch · ベストアンサー

＞f(t)=∫fx(x)fy(t-x)dx

fxはxが０から１のとき、
fyはt-xが０から１のときにのみ１になります。

つまり、
fx(x)=1 (0≦x≦1)
fy(t-x)=1 (0≦t-x≦1)→(t-1≦x≦t)

この二つの区間(0≦x≦1)と(t-1≦x≦t)の重なり具合を考えると、

t≦１のときは、区間０からtで、fx(x)fy(t-x)＝１
t≧１のときは、区間t-1から１で、fx(x)fy(t-x)＝１
になりますから、

(０≦t≦２)と組み合わせて、

f(t) = [x](0,t) = t （０≦t≦１）
f(t) = [x](t-1,1) = -t+2 （１≦t≦２）
f(t) = 0 (上記以外)

が確率密度関数になり、これを元に計算すると、期待値は１になります。

回答No.5

guuman

「２つの一様分布の和の確率密度関数は三角形になって不連続なので、
一つの式では表現できないと思います。」

の表現に一部間違いがあると思われるので私の意見では

「２つの一様分布の和の確率密度関数は三角形になって連続ですが、
一つの式では表現できないと思います。」

と訂正したほうがよいかと思います
余計なお世話ならば撤回します

回答No.3

betagamma

#1さんのおっしゃるとおりです。
fx(x)=1/(b-a)が、そもそも違っています。

fx(x)=1/(b-a) (a<=x<=bのとき）
=0 (それ以外)

ですね。すると、
∫fx(x)fy(t-x)dx
では、fy(t-x)の方が、

fy(t-x)=1/(b-a) (a<=t-x<=bのとき)
=0 (それ以外）

なので、t-b<=x<=t-aのときのみ、1/(b-a)になるんですね。

回答No.2

ymmasayan

２つの一様分布の和の確率密度関数は三角形になって不連続なので、
一つの式では表現できないと思います。

参考ＵＲＬは、解き方は違いますがヒントになると思います。

参考URL：

http://www7.plala.or.jp/juraian/unifold/unifold.htm

回答No.1

paddler

> 一様分布の確率密度関数はfx(x)=1/(b-a)ですが

ここが「厳密でない」始まりになっていませんか？
正確には、

　一様分布の確率密度関数は
　　　（１）0<x<1 で　 fx(x)=1/(b-a)
　　　（２）それ以外で　fx(x)=0

とすべきではありませんか？

だから、f(t)を求める時にも同じことが生じて、f(t)=1になってしまうのではないですか？

> fx(x)=1,fy(y)=1を代入して

場合分け無しに、強引に「1」を代入していいですか？