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Y=X^2の確率密度関数

確率変数Xが、一様分布U(-1,1)に従うとする。このとき、 Y=X^2の確率密度関数を求めよ。 という問題の解き方で、まずYの一様分布を求めようとしたのですが、 Xが-1から1までの分布なので、Y=X^2から Y=(-1)^2=1 Y=1^2=1 となるので、YはU'(1,1)の一様分布となる。 となってしまいました。U'(1,1)の一様分布なんておかしいですよね。 解き方が間違っているのでしょうか? それともここから解くことが出来るのでしょうか? どなたか分かる方いらっしゃいませんか?

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • rnakamra
  • ベストアンサー率59% (761/1282)
回答No.2

X,Yの確率密度関数をPx(X),Py(Y)とします。 確率密度関数Px(X)とは確率変数Xが(X,X+dX)間になる確率が"Px(X)dX"になる関数Px(X)のことです。 Xは(-1,1)の一様分布ですから、-1<x<1でPx(X)=C(定数),それ以外でPx(X)=0です。 また、Xが(-∞,∞)の間にある確率は"1"ですから ∫[X:-∞→∞]Px(X)dX=∫[X:-1→1]CdX=2C=1 Px(X)=1/2 (A) となります。 ここからYについて考えますが、XとYは1対1対応ではありませんのでまずはX>0の範囲だけを考えます。この範囲でのYの確率密度関数をP1y(Y),X<0での確率密度関数をP2y(Y)とする。 ここで、Xが(X,X+dX)にあるとき、Yが(Y,Y+dY)にあるとします。 このときの確率が等しくなることから Px(X)dX=P1y(Y)dY (B) dXとdYの関係はXとYの関係式 Y=X^2を微分すれば dY/dX=2X→dY=2XdX (C) となります。 (A),(C)を(B)に代入すると (1/2)dX=P1y(Y)*2XdX Py(Y)=(1/2)/2X=1/(4X) となります。 この式にY=X^2→X=√Yを代入して P1y(Y)=1/(4√Y) となります。今考えているXの変域はXが(0,1)であることからYの変域は(0,1)となります。 Xが(-1,0)の場合も同様に解け、P2y(Y)=1/(4√Y)が得られます。 Py(Y)=P1y(Y)+P2y(Y)=1/(2√Y) となります。(0<Y<1)

naseru
質問者

お礼

とても分かりやすい解説ありがとうございます。 自分のやり方では全然ダメでしたね(笑) 答えが#1のとは違うのですが、#1のは間違っているのでしょうか?

その他の回答 (3)

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.4

はっきり言うと, #1 は間違っています. そもそも Y は一様分布にならないです (これは質問者さんも誤解してましたね) し, Y が負のところで有限の確率が出ることもあり得ません. 何かを根本から勘違いしているように見えます.

naseru
質問者

お礼

やはり#1は間違っていましたか。 確かに負のところで有限の確立が出ることはないですね。

  • Tacosan
  • ベストアンサー率23% (3656/15482)
回答No.3

#2 の別法ですが Y の分布関数を経由する手もあります. X の確率密度関数は pX(x) = 1/2 (-1≦x≦1) です. そして, Y の分布については 「Y ≦ y ⇔ -√y ≦ X ≦ √y」 です. したがって Y の分布関数が Pr(Y ≦ y) = ∫(x: -√y→√y) (1/2) dx = √y と求まります. これを y で微分すれば確率密度関数.

naseru
質問者

お礼

回答ありがとうございます。 なるほど、そういう解き方もあるのですね。

  • sanori
  • ベストアンサー率48% (5664/11798)
回答No.1

こんにちは。 “一様分布U(-1,1)”って、-1から1までの範囲で一定ということですよね? 確率変数Xが、一様分布U(-1,1)にしたがうということは、 -1 ≦ t ≦ 1 において X(t) = C  (Cは定数) だということです。 すると、 Y(t) = X(t)^2 = C^2 となります。 まず、Yを t=-1 から t=1 の範囲で定積分すると、 ∫[t=-1→1]Ydt = ∫[t=-1→1]C^2dt  = C^2∫[t=-1→1]1・dt  = C^2[t][t=-1→1]  = C^2(1 - (-1))  = 2C^2 よって、Yの確率密度関数は、Yを2C^2 で割ったものです。 Yの確率密度関数をyと書けば、 y = Y/(2C^2)  = X^2/(2C^2)  = C^2/(2C^2)  = 1/2 一応、検算すれば、 ∫[t=-1→1]ydt = ∫[t=-1→1]1/2 dt  = 1/2∫[t=-1→1]1dt  = 1/2(1-(-1))  = 1 合いました。 ちなみに、これ、 長方形の面積を1にするには、高さを何分の1にすればよいか、 ということと同じことです。 (一様分布の高さ ⇔ 長方形の高さ) ご参考になりましたら幸いです。

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