この確率密度関数の理解で合ってますか?

質問

こんにちは。
確率密度関数の定義がよくわかりません。

en.wikipedia.org/wiki/Radon%E2%80%93Nikodym_theorem
のaplicationの欄の
『Specifically, the probability density function of a random variable is the Radon?Nikodym derivative of the induced measure with respect to some base measure (usually the Lebesgue measure for continuous random variables).』
にて,確率密度関数の定義を考えてます。そこで確認させていただきたいのですが

(Ω,Σ,P)を確率空間でX:Ω→Rを確率変数(Σ可測関数)とすると,
ここでのinduced measureとはPX^-1という合成写像(これは累積分布関数と呼ばれる)の事ですよね。

このサイトでの
ν:=P,g:=X,μ:=Pと看做せばよいのでしょうか(サイトではν,μとも同一の可測空間からの測度になっています)?

つまり,
P(X^-1((-∞,r]))=∫_{X^-1((-∞,r])}fdP ただし,r∈R
という式を満たすΣ可測関数f:Ω→Rの事を確率測度Pによる確率変数Xの確率密度関数というのでしょうか?

回答No.2

ramayana · ベストアンサー

ANo.1 のお礼について

「ここでλをR上のボレル測度としても成り立ちますよね(完備化は要りますかね?)」

失礼しました。ANo.1 に間違いがありました。「Λを、R 上のルベーグ可測集合全体からなる集合族」の所を「Λを、R 上のボレル集合族」に訂正してください。ご指摘のとおり、λをR上のボレル測度として成り立ちます。完備化は要りません。

「almost everywhereの意味がいまいち分かりません」

(Ω,Σ,μ) を測度空間として、 r をΩの元とします。○○を、 r に関する何らかの命題とします。「ほとんどいたるところ（almost everywhere）の r に対して○○が成立する」とは、

「Σの元 Z でμ(Z) = 0 なるものが存在し、Ω＼Z の任意の元 r に対して○○が成立する」

という意味です（Ω＼Zは、ΩにおけるZ の補集合）。あるいは、

「○○が成立しないような r 全体は、Σのある元 Z でμ(Z) = 0 なるものの部分集合である」

と言っても同じことです。
Ωが実数全体の集合 R のとき、往々にしてΣやμが省略されます。このときは、Σがルベーグ可測集合全体で、μがルベーグ測度とみなされます。なお、ここで、Σがボレル加法族でμがボレル測度とみなしても、almost everywhereの意味は、結果的に変わりません。

ANo.1 の記述に即して言えば、次のようになります。

「次を満たす R から R への関数 f が、「ほとんどいたるところ（almost everywhere）」の意味で、一意的に存在する：
　　Q(A) = ∫[A]f(r)dλ(r)　for A ∈Λ」

とは、ルベーグ測度が0の集合 Z が存在し、

(1)　R＼Z の任意の元 r に対して f(r) が定義され、
(2)　 Q(A) = ∫[A]f(r)dλ(r)　for A ∈Λ、
(3) 　もし、「Q(A) = ∫[A]g(r)dλ(r)　for A ∈Λ」なる g が存在したら、R＼Z の任意の元 r に対して f(r) = g(r)

を満たす、という意味です。

また、「F(r) がほとんどいたるところ微分可能」とは、ルベーグ測度が0の集合 Z が存在し、R＼Z の任意の元 r において F(r) が微分可能という意味です。

さらに、「dF(r)/dr = f(r)（a.e.）」とは、ルベーグ測度が0の集合 Z が存在し、R＼Z の任意の元 r において dF(r)/dr = f(r) ということです。

なお、 これらの例で「ルベーグ測度が0の集合 Z」の部分を「ボレル測度が0の集合 Z」と言い換えても同じことです。

ちなみに、質問者さんが挙げられた「Q(A) = ∫[A]f(r)dλ(r) a.e.」について、「Q(A) = ∫[A]f(r)dλ(r) 」の部分は、 r に関する命題ではありません（r は、単なる積分変数として現れているだけ）。したがって、このような場合、「a.e.」は使わないと思います。

お礼

有難うございます。お蔭様で漸く解決できました。＼(^o^)／

回答No.1

ramayana

多分、次のようなことだと思います。(Ω,Σ,P) を確率空間、R を実数全体の集合、X:Ω→Rを確率変数とします。

（induced measure）
X を使って、R 上に確率空間を構成できます。 Λを、R 上のルベーグ可測集合全体からなる集合族とします。Λから R への関数 Q を、次のように定義します。

　　Q ： Q(A) = P(X^(-1)(A)) for A ∈Λ
　　（確率変数の定義により、X^(-1)(A) ∈ Σ であることに注意）

すると、(R, Λ,Q) が確率空間になることが、容易に確かめられます。引用サイトの induced measure とは、この Q を指すものと思われます（この部分は質問者さんの解釈に同意）。

（Lebesgue measure、絶対連続、Radon-Nikodym の定理、確率密度関数）
λを、R 上のルベーグ測度（Lebesgue measure）とします。(R, Λ, λ) は、R 上の測度空間です。さて、R 上に、(R, Λ,Q) と (R, Λ, λ) の２つの測度空間が構成されました。ここで、次の仮定を置きます。

　　仮定　「Q は、λに関して絶対連続（absolutely continuous）である」

すると、Radon-Nikodym の定理により、次を満たす R から R への関数 f が、「ほとんどいたるところ（almost everywhere）」の意味で、一意的に存在します：

　　Q(A) = ∫[A]f(r)dλ(r)　for A ∈Λ
　　　　 = ∫[A]f(r)dr　　（普通のルベーグ積分）

この f のことを、X の「密度」あるいは「確率密度関数（probability density function）」と言います（∫[A] は、A を積分範囲にするという意味）。

（引用サイトの記号との関係）
引用サイトを確率密度関数の文脈で読むとすれば、記号が次のように対応すると思われます。

　　上のR と、引用サイトの X
　　上の Λ と、引用サイトのΣ
　　上の Q と、引用サイトの ν
　　上の λ と、引用サイトの μ
　　上の A と、引用サイトの A
　　上の f と、引用サイトの f
　　上の X に対応する記号は、引用サイトに現れない

（分布関数との関係）
R から R への関数 F を、次のように定義します。

　　F：　F(r) = Q((-∞,r])　for r ∈ R

この F を、X の「分布関数」あるいは「累積分布関数」と言います。絶対連続の仮定により確率密度関数が存在することから、F(r) は、ほとんどいたるところ微分可能で、

　　dF(r)/dr = f(r)　　（a.e.）

が成立します（a.e. は、ほとんどいたるところ等式が成立するという意味）。

お礼

遅くなりまして大変申し訳ありません。
お蔭様で明るくなりました!

> （Lebesgue measure、絶対連続、Radon-Nikodym の定理、確率密度関数）
> λを、R 上のルベーグ測度（Lebesgue measure）とします。

ここでλをR上のボレル測度としても成り立ちますよね(完備化は要りますかね?)。

> すると、Radon-Nikodym の定理により、次を満たす R
> から R への関数 f が、「ほとんどいたるところ（almost
> everywhere）」の意味で、一意的に存在します：

ここのalmost everywhereの意味がいまいち分かりません。

Q(A) = ∫[A]f(r)dλ(r) a.e.
は,つまり,
R⊃∃Zは測度λでの零集合; Q(A)＼Z = ∫[A]f(r)dλ(r)＼Z
という意味なのでしょうか?