確率密度関数の問題教えてください

質問

同時確率密度関数6(x-y) 0<x<y<1 のX,Yそれぞれについて周辺確率密度関数と期待値と分散を求め、共分散と相関係数を求めよ。

Xの期待値がゼロになったり、Yの期待値がマイナスの値になってしまったのですが、良いのでしょうか？

回答No.5

MagicianKuma · ベストアンサー

同時確率密度関数 f(x,y)=6(x-y) 0<y<x<1　とします。
(1)周辺確率密度関数は
　f1(x)=∫[0,x] 6(x-y)dy=3x^2 ,0<x<1
　f2(y)=∫[y,1] 6(x-y)dx=3(1-y)^2 ,0<y<1
(2)E(x),Sxx
　xm=E[x]=∫[0,1] xf・1(x)dx=∫[0,1] 3x^3=3/4
　E[x^2]=∫[0,1] x^2・f1(x)dx=∫[0,1] 3x^4=3/5
　Sxx=E((x-xm)^2]=E[x^2]-xm^2=3/5-(3/4)^2=3/80
(3)E(y),Syy
　ym=E[y]=∫[0,1] y・f2(y)dy=∫[0,1] 3y(1-y)^2=1/4
　E[y^2]=∫[0,1] y^2・f2(y)dy=∫[0,1] 3y^2(1-y)^2=1/10
　Syy=E((y-ym)^2]=E[y^2]-ym^2=1/10-(1/4)^2=3/80
(4)Cov(x,y)=Sxy
　E[xy]＝∫[0,1]∫[0,x] xy・f(x,y)dydx=∫[0,1]∫[0,x] 6xy(x-y)dydx＝1/5
　Sxy=E[xy]-mxmy=1/5-3/4・1/4=1/80

お礼

こちらのミスが多かったのに最後まで解答いただき本当にありがとうございます。

回答No.4

MagicianKuma

>∫[0,1]{∫[0,x]6(x-y)dy}dx=1
こう計算したということは、0<x<y<1ではなく、0<y<x<1と考えたということです。
繰り返します、定義されている範囲で確率密度関数は非負でなければいけません。問題を確認したほうが良いでしょう。

補足

ほんとにすいません。0<y<x<1が積分範囲でした。ぼくのミスで何度も答えていただいてすいません。期待値と分散の値だけ教えていただけないでしょうか？Yについての期待値、分散はそれぞれ1/4,3/80になりました。Xの分散が合ってるかわからないような値になってしまうので…

回答No.3

MagicianKuma

問題のミスですね。6(x-y)が6(y-x)の間違いか、あるいは0<x<y<1が0<y<x<1の間違いでしょう。
いずれにしても、確率密度関数は非負でかつ、全領域で積分して1になる必要があります。
問題を(x,y)が0<x<y<1の時、f(x,y)=6(y-x)　それ以外の時f(x,y)=0 とすれば、上記を満たします。
∫[-∞,∞]∫[-∞,∞] f(x,y)dydx=∫[0,1]{∫[x,1]6(y-x)dy}dy=∫[0,1]3(1-x)^2dx=1
周辺確率密度関数は
f1(x)=∫[x,1]6(y-x)dy=3(1-x)^2 ,0<x<1
f2(y)=∫[0,y]6(y-x)dx=3y^2 ,0<y<1

補足

元の問題のままで積分範囲を考えたら
∫[-∞,∞]∫[-∞,∞] f(x,y)dydx=
∫[0,1]{∫[0,x]6(x-y)dy}dx=1
となりました。
確率密度関数の条件を満たしているので、この積分範囲で周辺確率密度関数、期待値と計算していったら大丈夫ですか？

回答No.2

noname#227064

> 見直しましたがこれであってます。

であるなら、問題文が間違ってます。

> これ実は試験問題なんです。

試験問題であろうが間違いはあります。
（無論間違いがないようにチェックはしているでしょうが）

> もしこれで答えをだすならば分散が負であっても問題ないですか？

問題アリです。
「問題文に間違いがあるので解答できない」とでも書くか試験監督者にそう知らせるかすべきです。
分散が負のまま答えをだしたら、例え問題が間違っていたとしても、分散を理解していないと評価されます。

回答No.1

noname#227064

> 6(x-y) 0<x<y<1
では確率密度が負になるので、問題文自体が間違っているか、写し間違いをしているのでしょう。

補足

見直しましたがこれであってます。 これ実は試験問題なんです。もしこれで答えをだすならば分散が負であっても問題ないですか？