確率変数Xが平均0、分散1の標準正規分布に従うとき、|X|の確率密度関

質問

確率変数Xが平均0、分散1の標準正規分布に従うとき、|X|の確率密度関数、平均、分散を求め方と答えを教えてください；；
急ぎの問題で、大変困っておりますので、よろしくお願いします。

回答No.2

Anti-Giants · ベストアンサー

fがXの確率密度関数 ⇔ Pr[X < t] = int[-∞,t]f(x)dx

この場合、|X| < 0となることはないから Pr[|X| < 0] = 0
Pr[|X| < 0] = int[-∞,0]g(x)dx = 0　⇒ g(x) = 0 when x < 0

そのガウス積分は、計算する必要ないですよ。
fは標準正規分布の密度関数ということが分かっていますから。
int[0,∞]x^2g(x)dx = int[-∞,∞]x^2f(x)dx = 1

V[|X|] = 1 - 2/π

お礼

納得しました。
有り難うございました。

回答No.1

Anti-Giants

f(x) = exp(-x^2)/root{2π}

Pr[|X| < t]
= Pr[-t < X < t]
= int[-t,t]f(x)dx
= int[0,t]2f(x)dx

|X|の確率密度関数g(x)は
2f(x) when 0 ≦ x
0 when x < 0

E[|X|] = int[0,∞]xg(x)dx

V[|X|] = int[0,∞]x^2g(x)dx -(E[|X|])^2

お礼

御返事有り難うございます。
大変助かりました。
質問があるんですが
2f(x) when 0 ≦ x
0 when x < 0
はどのようにして導かれたのでしょうか。

あとV[|X|] = int[0,∞]x^2g(x)dx -(E[|X|])^2
の計算なんですが途中ガウス積分が出てきて自信がないのですが
2-2/πで合ってますでしょうか。
何度もすみません。