確率変数の和の平均値と分散と確率分布

質問

確率の問題でどうしても解けない物があります。どなたか解き方を教えて貰えませんでしょうか。お願いします。

問題）
確率変数　Xi（i=1,2,…,N) は互いに独立であるが，
それぞれ平均値i　（E(Xi)=i)　のポアソン分布に従う．
この確率変数の和　Y= (N Σ i=1) Xi　の平均値と分散を，
Nの関数として求めよ．
さらに，Yの確率分布 P(Y=n) を求めよ．

回答No.1

zk43 · ベストアンサー

平均と分散は
E(Y)=E(X1+…+XN)=E(X1)+…+E(XN)=1+…+N=N(N+1)/2
V(Y)=V(X1+…+XN)=V(X1)+…+V(XN)=1+…+N=N(N+1)/2
と簡単にできると思います。
確率分布は確率母関数を使えば良いと思います。
Yの確率母関数はGY(s)=E(s^Y)によって定義されます。
（sのY乗の平均、sは実変数）
GY(s)=E(s^Y)=E[s^(X1+…+XN)]=E(s^X1…s^XN)
=E(s^X1)…E(s^XN)
積の各項は
E(s^Xi)=ΣP(Xi=n)s^n=Σe^(-i)・i^n/n!・s^n
=e^(-i)Σ(is)^n/n!=e^(-i)・e^(is)
よって
GY(s)=e^(-1-…-N)・e^((1+…+N)s)
=e^(-N(N+1)/2)・e^(N(N+1)/2・s)
これをs=0を中心としてテイラー展開すると
GY(s)=e^(-N(N+1)/2)・[1+N(N+1)/2/1!・s
+{N(N+1)/2}^2/2!・s^2+…
+{N(N+1)/2}^n/n!・s^n+…]
一方、定義から
GY(s)=E(s^Y)=ΣP(Y=n)s^n
なので、GY(s)のテイラー展開のs^nの係数と比較して
P(Y=n)=e^(-N(N+1)/2)・{N(N+1)/2}^n/n!
結局、平均がN(N+1)/2=1+2+…+Nのポアソン分布になりました。
（n=0,1,2,…として和をとって１になるので計算は合って
ると思いますが。ご確認願います。）
確率分布が分からないが、確率母関数が比較的容易に計算
できるときは、これをテイラー展開して係数を比較して逆
に確率分布を求められます。
ある確率変数Xが与えられたときに、逆に単純な確率変数
U1,…,UNを使ってX=U1+…+UNと表し、GX(s)からXの確率分布を
求めることが良くあります。
（例えばXが二項分布に従うとき、Uiはベルヌーイ分布）

お礼

おかげさまで解くことができました！！ありがとうございました。