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確率変数の和の平均値と分散と確率分布

確率の問題でどうしても解けない物があります。どなたか解き方を教えて貰えませんでしょうか。お願いします。 問題) 確率変数 Xi(i=1,2,…,N) は互いに独立であるが, それぞれ平均値i (E(Xi)=i) のポアソン分布に従う. この確率変数の和 Y= (N Σ i=1) Xi の平均値と分散を, Nの関数として求めよ. さらに,Yの確率分布 P(Y=n) を求めよ.

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平均と分散は E(Y)=E(X1+…+XN)=E(X1)+…+E(XN)=1+…+N=N(N+1)/2 V(Y)=V(X1+…+XN)=V(X1)+…+V(XN)=1+…+N=N(N+1)/2 と簡単にできると思います。 確率分布は確率母関数を使えば良いと思います。 Yの確率母関数はGY(s)=E(s^Y)によって定義されます。 (sのY乗の平均、sは実変数) GY(s)=E(s^Y)=E[s^(X1+…+XN)]=E(s^X1…s^XN) =E(s^X1)…E(s^XN) 積の各項は E(s^Xi)=ΣP(Xi=n)s^n=Σe^(-i)・i^n/n!・s^n =e^(-i)Σ(is)^n/n!=e^(-i)・e^(is) よって GY(s)=e^(-1-…-N)・e^((1+…+N)s) =e^(-N(N+1)/2)・e^(N(N+1)/2・s) これをs=0を中心としてテイラー展開すると GY(s)=e^(-N(N+1)/2)・[1+N(N+1)/2/1!・s +{N(N+1)/2}^2/2!・s^2+… +{N(N+1)/2}^n/n!・s^n+…] 一方、定義から GY(s)=E(s^Y)=ΣP(Y=n)s^n なので、GY(s)のテイラー展開のs^nの係数と比較して P(Y=n)=e^(-N(N+1)/2)・{N(N+1)/2}^n/n! 結局、平均がN(N+1)/2=1+2+…+Nのポアソン分布になりました。 (n=0,1,2,…として和をとって1になるので計算は合って ると思いますが。ご確認願います。) 確率分布が分からないが、確率母関数が比較的容易に計算 できるときは、これをテイラー展開して係数を比較して逆 に確率分布を求められます。 ある確率変数Xが与えられたときに、逆に単純な確率変数 U1,…,UNを使ってX=U1+…+UNと表し、GX(s)からXの確率分布を 求めることが良くあります。 (例えばXが二項分布に従うとき、Uiはベルヌーイ分布)

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