パラメータが分布している確率変数の期待値

質問

ポアソン分布に従う確率変数（ポアソン確率変数とします）を考えたときに平均、分散を決めるパラメータλが定数ではなく、
確率変数である場合期待値はどうなるのかを知りたいのですがどなたかお教えいただけないでしょうか？

具体的にはをP[λ]はパラメータが定数λであるポアソン確率変数を表わすとします。
さらに別に独立な確率変数Xを考えたとき
(1) E{P[X]}=E{X}
となるかどうか、また多項式で表わされる関数fに対しても
(2) E{P[f(X)]}=E{f(X)}
とならないでしょうか？

２つともモンテカルロ法で期待値を比べたところほとんど等しくなったのですが、理論的な根拠がないのです。よろしくお願いします。

回答No.1

noname#227064 · ベストアンサー

> (2) E{P[f(X)]}=E{f(X)}

これは、確率変数Xの確率密度関数をg(x)、パラメータλのポアソン分布に従う確率変数Yの確率関数をPo(λ,y)、Xに関する任意の関数をf(x)とおくと、

∫∫yPo(f(x),y)g(x)dxdy = ∫f(x)g(x)dx

と同じでしょうか？
もしそうなら、X, Yが独立であることとパラメータλのポアソン分布の平均がλであることから当然一致します。

∫∫yPo(f(x),y)g(x)dxdy
= ∫∫yPo(f(x),y)g(x)dydx
= ∫{∫yPo(f(x),y)dy}g(x)dx
= ∫f(x)g(x)dx

お礼

>∫∫yPo(f(x),y)g(x)dxdy = ∫f(x)g(x)dx
>
>と同じでしょうか？

まさにそのとおりです。なるほど、多項式でなくても
より一般的なf(x)でも成り立つのですね。

大変参考になりました！ありがとうございます！