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確率統計

◆ 確率分布とパラメータ:指数分布 λ>0 確率・確率密度関数P(X=x)またはPx(x):{Px(x)=λe^(-λx) (x>0) , Px(x)=0 (その他)} 特性関数 φx(jt):(1-jt/λ)^(-1) 平均値 E[X]:1/λ 分散 Var[X]:1/(λ^2) ◆ 確率分布とパラメータ:幾何分布 0<p<1 確率・確率密度関数P(X=x)またはPx(x):Px(X=x)=pq^x, x=1,2,・・・ q=1-p 特性関数 φx(jt):p/(1-qe^(jt)) 平均値 E[X]:q/p 分散 Var[X]:q/(p^2) ◆ 確率分布とパラメータ:負の2項分布 r=1,2,・・・, 0<p<1 確率・確率密度関数P(X=x)またはPx(x):Px(X=x)=【r+x-1,x】(p^r)(q^x) , x=0,1,2,・・・ q=1-p 特性関数 φx(jt):{p/1-qe^(jt)}^r 平均値 E[X]:rq/p 分散 Var[X]:rq/p^2 これらの確率分布について、(1)連続確率変数と離散確率変数のどちらか、(2)全体の確率P(-∞<X<∞)=1となることを計算せよ、(3)これらの確率変数について、平均E(X)と分散 V(x)が求められることを計算せよ。 ってところがわかりません。よろしくお願いします。

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> ってところがわかりません。 って、まるまる全部わからないってことですか? このままですと、残念ながら削除されちゃいそうなご質問ですので、アドバイスだけさせて頂いて、ご自分で考えていただければと思います。 (1)連続確率変数と離散確率変数のどちらか? そのものズバリ示されていますよね。 ご自分の回答を補足欄へどうぞ。 (2)、(3)全体の確率と平均値、分散 特性関数を理解しませう。 特性関数は φx(t) = E[exp(jtX)]=∫exp(jtx)dP(x)   ( j^2 = -1 ) で定義されていますよね。 (質問者さんの書かれているφx(jt)と同じです。普通、φx(jt)とはせずにφx(t)と書くと思います。) これが分かりにくければ、 連続確率変数の場合、確率密度 f(x) のとき φx(t) = ∫exp(jtx)f(x)dx (xに関する積分) 離散確率変数の場合、確率P(X=x)のとき φx(t) = Σexp(jtx)P(X=x) (xに関する和) では、φx(0)は何を表しますか? t=0 のとき、exp(jtx) は1 です。そうすると、上の式は 連続のとき φx(0) = ∫f(x)dx 離散のとき φx(0) = ΣP(x) です。これが(2)の答えです。せっかく特性関数を計算してくれてあるので、こいつにt=0を入れて計算するだけです。 次に、φx(t)を次のように t で微分したものを考えます。 1階微分を j で割ったもの (1/j )φx '(t) = (1/j )E[ jX・exp(jtX)] = E[X・exp(jtX)] 2階微分を j^2 で割ったもの (1/(j^2))φx ''(t) = (1/( j^2))E[( j^2)(X^2)exp(jtx)] = E[X^2・exp(jtX)] そして、これらで t=0 とした場合、それぞれどのような値になりますか? t=0 で exp(jtx)は1ですから、E[X]とE[X^2]です。 E[X]はなんでしょう ・・・ 平均ですな E[X^2]はなんでしょう ・・・ 2次モーメントですね。 分散 Var[X] = E[X^2] - (E[X]^2) ということで、(3)は特性関数を t で1階、2階微分して、1/j または 1/(j^2) 倍してt=0 を入れて計算する。 ご自分で計算して、それぞれ問題に書かれている平均や分散と一致するかどうかご確認ください。

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