確率密度変数

質問

これを説明しろという問題が出てきたのですが・・・
教科書もなく、ネットで調べても出てこないと思って聞きます

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確率変数 ｘ の確率密度関数 ｐ（ｘ）は、 ∫ｐ（ｘ）ｄｘ＝１で定義される。
一様分布乱数 ｘ （０～１）が ｐ（ｘ）＝１ （ｘ＝０～１）
平均は、Ｅ[ ｘ ] ＝ ∫ｘ ｐ（ｘ）ｄｘ ＝ ∫ ｘ ｄｘ ＝ １/２
分散は、σx ＝Ｅ[ ( ｘ － Ｅ［ x ] ) ] ＝ E[ ｘ ] － （Ｅ［ ｘ ］） ：（この続きは？）
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平均があっての分散？なのでしょうか・・・
正直に言うと分散もいまいち理解できてません。

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＝ ∫ ｘ ｐ（ｘ）ｄｘ －（１/２） ＝ １/３ － １/４ ＝ １/１２
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こうなる理屈がわかりません。 説明できる方いたらお願いします

回答No.3

info22_ · ベストアンサー

#1です。

A#1の補足の回答

>分散のところでなぜ二乗になるのでしょうか？

#2さんも補足されてるように、それが分散の定義だからです。
もう一度、教科書、参考URL等で、連続系の確率変数について平均や分散の定義式を復習し直して見てください。分散は「確率変数から平均値を引いた項の二乗平均」が定義です。

>最後の
>> ＝ １/３ － １/４ ＝ １/１２
>は
>>正：＝∫[-∞→∞] ｘ^2 ｐ（ｘ）ｄｘ －（１/2)^2
>>　＝∫[0→1]x^2 dx－(1/2)^2
>の結果が＝１／３－１／４＝１／１２となるのでしょうか？

積分が分からないのでしょうか？
そうなら教科書で微分積分の所を復習して下さい。

σxは標準偏差です。
分散V(x)=(σx)^2=∫[-∞→∞] {{x-E(x)}^2]p(x)dx
=∫[0→1] {{x-(1/2)}^2]dx
=∫[0→1] {x^2 +(1/2)^2 -x}dx
=∫[0→1] (x^2)dx +{(1/2)^2} -E(x)
= [(1/3)x^3)][0→1] +(1/4)-(1/2)
= (1/3)*(1^3) -(1/4)
=(1/3)-(1/4)
=(4/12)-(3/12)
=(4-3)/12
=1/12

となります。

参考URL：

http://staff.aist.go.jp/t.ihara/operation.html

お礼

色々と解説してくださいありがとうございます。今回は急なことですごい焦っていてとにかく答えを!と思って質問させていただきました。色々また復習してみます

回答No.2

Tacosan

「なぜ」と感じたときに「定義を確認してみよう」とは思いませんでしたか?

回答No.1

info22_

>確率変数 ｘ の確率密度関数 ｐ（ｘ）は、
> ∫ｐ（ｘ）ｄｘ＝１ ←　×

正：∫[-∞→∞]ｐ（ｘ）ｄｘ＝１

>で定義される。

>一様分布乱数 ｘ （０～１）が
>ｐ（ｘ）＝１ （ｘ＝０～１） ←　×

正：p（x）=0 （ｘ＝０～１以外）　←　これを付け加える。

>平均は、Ｅ[ ｘ ]
> ＝ ∫ｘ ｐ（ｘ）ｄｘ ＝ ∫ ｘ ｄｘ ←　×

正：＝ ∫[-∞→∞]ｘｐ(ｘ）ｄｘ ＝∫[0→1] ｘ ｄｘ

> ＝ １/２　

>分散は、
>σx ＝Ｅ[ (ｘ－Ｅ［x] )] ＝ E[ｘ] － （Ｅ[ｘ]） ←　×
正：(σx)^2 ＝Ｅ[(ｘ－Ｅ[x])^2] ＝ E[ｘ^2]－(Ｅ[ｘ])^2

>　＝∫ ｘｐ（ｘ）ｄｘ －（１/２）　 ←　×
正：＝∫[-∞→∞] ｘ^2 ｐ（ｘ）ｄｘ －（１/2)^2
　＝∫[0→1]x^2 dx－(1/2)^2

> ＝ １/３ － １/４ ＝ １/１２

補足

分散のところでなぜ二乗になるのでしょうか？

最後の
> ＝ １/３ － １/４ ＝ １/１２
は
正：＝∫[-∞→∞] ｘ^2 ｐ（ｘ）ｄｘ －（１/2)^2
　＝∫[0→1]x^2 dx－(1/2)^2
の結果が＝１／３－１／４＝１／１２となるのでしょうか？