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確率密度関数についてです

fx(x)=(e^-x^2/2)/2πの分布でX≦xのときの確率P(X≦x)=Fx(x)を求めなさい。という問題なんですが、どうすればいいですか? ちなみにこの分布の平均値、分散地を求める式も教えてくれると嬉しいです。 教えてください。 わかりにくいかもしれませんが、上の式の(e^-x^2/2)/2πは2πぶんのeの-2分のx^2です。

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  • arrysthmia
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回答No.1

確率変数 X の確率密度関数が fx(x) = {e^(-x^2/2)}/(2π) だという意味なら、 X の変域を適当に制限しないと、fx は確率密度関数になりません。 X が任意の実数を取りえると、全確率が ∫[-∞<x<∞] fx(x) dx = √(2π) > 1 になってしまうからです。∫[a<x<b] fx(x) dx = 1 になるような a,b を適当に 設定して、X は a<X<b の値をとる確率変数(よって、x がこの範囲外にある ときは、fx(x) は {e^(-x^2/2)}/(2π) ではなく 0)としなければなりません。 それができたとして、P(X≦x) = ∫[-∞<t<x] fx(t) dt ですが、 不定積分 ∫ e^(-x^2/2) dx が初等関数の組み合わせでは書き表せないので、 ∫[-∞<t<x] fx(t) dt を求積してしまうことはできません。 値が欲しければ、計算機など使って近似値を求めるのが唯一の方策です。 単純に fx(x) = {e^(-x^2/2)}/√(2π) の書き間違いならば、 それは「正規分布」ですから、 統計の教科書の巻末には、近似値の表が必ず載せてあります。

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