積率母関数と確率分布

質問

いつもお世話になっております．
このたびは積率母関数に関しする以下の問題について質問させていただきます．

問．積率母関数が次の式である確率変数Xを想定する．ψ(t)=(3e^t+e^-t)/4　このとき，Xの平均と分散はいくらか．また，Xの確率分布も求めなさい．

このような問題で，平均は1/2，分散は3/4であると計算することが出来ました．
しかし，確率分布をどのようにして求めればよいのかが分かりません．
何卒ご教示よろしくお願い致します．

回答No.1

grothendieck · ベストアンサー

Xの密度関数をf(x)とすると
　∫(-∞～∞)exp(tx)f(x)dx = (3exp(t)+exp(-t))/4
よって
　∫(-∞～∞)exp(itx)f(x)dx = (3exp(it)+exp(-it))/4
これを反転すると
　f(x) = (1/2π)∫(-∞～∞)exp(-itx)dt (3exp(it)+exp(-it))/4
　= (3δ(x-1) + δ(x+1))/4

すなわちXは確率3/4で１、確率1/4で -１をとる確率変数です

お礼

ご回答ありがとうございます．
たいへん助かりました．

ところで，
「ψ(t)=E(exp(tx))= (3exp(t)+exp(-t))/4であるため，
Xは1,-1の二つの値しかとらないと考え，
それからそれぞれの確率を計算する」
という考え方でも宜しいのでしょうか？

回答No.2

grothendieck

Xは確率3/4で１、確率1/4で -１をとる確率変数であることが分かってしまえばψ(t)=(3e^t+e^-t)/4になることは明らかですが、問題の解答としてはψ(t)から分布を求める形にする必要があります。

お礼

ご回答ありがとうございます．

私が不勉強であるため，未だに積率母関数をしっかりと理解できていないようです．
再度，復習して考え直してみます．

度々ご回答していただき，たいへん助かりました．
今後ともよろしくお願い致します．