確率分布

質問

難しくて全くわかりません。
解けるかたお願いします。
問題はこちらです。

問．あるバッテリーは12個の素子ei(i=1,…,12)から作られており、3個の素子を直列につないだものを4個並列につないだ回路になっている。1つの素子は平均寿命が1年の指数分布に従うとする。このとき、以下の問いに答えよ。
1)素子ei(i=1,2,3)が壊れる時刻の確率変数をTi(i=1,2,3)とする。3個の素子を直列につないだものが壊れる時刻の確率変数TdをT1,T2,T3を用いて表せ。
2)Tdの分布関数を求めよ。
3)Tdの分散を求めよ。
4)このバッテリーの平均寿命を求めよ。

宜しくお願いします。

回答No.1

onakyuu

なかなか良い問題だと思います。
１）直列の場合は1個でも切れると使えなくなると考えらるので
最初に壊れた素子の寿命が全体の寿命になります。つまり
min(T1,T2,T3)
２）1つの素子が時間tで壊れていない確率はexp(-t)ですが、
すべてがまだ稼働している確率は（独立性より積になる）
exp(-t)*exp(-t)*exp(-t)です。これは簡単に書けばexp(-3t)
です。つまり平均寿命が1/3年の指数分布です。
３）２）の結果から指数分布の分散は平均の２乗なので
1/9(年^2)です
４）上で計算した直列につなげたものを４つ並列にしたのが
全体のバッテリーです。並列ではこの４つがすべて壊れた場合、
全体が壊れるとみなすと考えれます。指数分布がマルコフ性を
持つことを考慮して
４つから１つ壊れて３つになるまで平均時間は1/(3*4)年
３つから１つ壊れて２つになるまで平均時間は1/(3*3)年
２つから１つ壊れて１つになるまで平均時間は1/(3*2)年
１つから１つ壊れて０つになるまで平均時間は1/9年
という感じで計算できるのではないだろうか。
よーく考えよう！！