(1-2t)^-6,t<1/2が確率変数Xのmgf(積率母関数)である時,P(X<5.23)を求めよ

質問

いつもお世話になっています。
[問](1-2t)^-6,t<1/2が確率変数Xのmgf(積率母関数)である時,P(X<5.23)を求めよ。

という問題なのですがどのようにして解けばいいのでしょうか?どうかご教示ください。

尚,積率母関数とは
ある正の数t_0が存在して全てのt∈(-t_0,t_0)に対し,e^(tX)の期待値が存在するな
らばXの積率母関数をM_X(t):=E(e^tX) で定義する
というものだと思います。

回答No.3

kumipapa · ベストアンサー

＞　検索してみたいのですがこれといったものがヒットしませんで…
気合が足りない（冗談です）

＞　5.23という数値は自由度r=15,x=0.010の所が5.229
違います。
まず χ^2 分布の積率母関数から。自由度 n の χ^2 分布の積率母関数が
M_X(t) = (1 - 2t)^(-n/2) , t＜1/2
です。従って、問題の積率母関数 (1 - 2t)^(-6) は、自由度 12 の χ^2 分布の積率母関数です。

χ^2 分布表は正しく見る事ができていらっしゃるようですから、自由度 15 ではなくて、自由度 12 の行を見てみましょう。
その行で 5.23 が見つかるはずです。

お礼

>＞　5.23という数値は自由度r=15,x=0.010の所が5.229
> 違います。
> まず χ^2 分布の積率母関数から。自由度 n の χ^2 分布の積率母関数が
> M_X(t) = (1 - 2t)^(-n/2) , t＜1/2

これがχ^2分布の積率母関数なのですね。

> です。従って、問題の積率母関数 (1 - 2t)^(-6) は、自由度 12 の χ^2 分布の積
> 率母関数です。

-n/2=-6だからn=12で自由度12なのですね。

> χ^2 分布表は正しく見る事ができていらっしゃるようですから、自由度 15 ではな
> くて、自由度 12 の行を見てみましょう。
> その行で 5.23 が見つかるはずです。

12の行を見ていきますと,5.226がありましてそれのP(X≦x)値は0.05となっていました!

このようにして求めるのですね。どうもありがとうございました。

回答No.4

info22

#1です。
質問者さんはご自分の解答を何もしめさず、解答があるにも関わらず質問を丸投げして、分布関数も伏せて質問し、丸解答をされました。

したがって、正しい回答のアドバイスできませんでしたので、A#1の解答を削除させて下さい。
同時に質問がマナー違反ですので、サイトに通告させていただきます。

お礼

> 質問者さんはご自分の解答を何もしめさず、
すいません。手も足も出ませんでしたので自分の解答を書きようが有りませんでした。
ですのでせめて用語等の意味を調べてみた次第です。

> 解答があるにも関わらず

これは後で気がついてしまいました。失礼致しました。

> 質問を丸投げして、分布関数も伏せて質問し、丸解答をされました。

自分としましてはできる範囲の事はしたつもりでございます。
"分布関数も伏せて"は意味が分かりません。すいません。

回答No.2

kumipapa

(1-2t)^-6, t<1/2 は何分布の積率母関数ですか？
自分のための自分の問題なのですから、調べて分かるはずの事ぐらい自分で調べましょう。
見つかるまで調べれば必ず見つかります（当たり前か・・・）。
積率母関数の定義を書き込んでるヒマがなるなら自分で検索すればいいのに・・・

ヒント　：　自由度□□のカイ○乗分布の積率母関数

5.23 という数値は、分布表に必ず載っている数字なので、自分で調べてください。

答えは、P(X<5.23) = 0.05 だと思います。

お礼

ご回答誠に有難うございます。

> (1-2t)^-6, t<1/2 は何分布の積率母関数ですか？
> 自分のための自分の問題なのですから、調べて分かるはずの事ぐらい自分で調べま
> しょう。
> 見つかるまで調べれば必ず見つかります（当たり前か・・・）。
> 積率母関数の定義を書き込んでるヒマがなるなら自分で検索すればいいのに・・・

検索してみたいのですがこれといったものがヒットしませんで…

> ヒント　：　自由度□□のカイ○乗分布の積率母関数
> 5.23 という数値は、分布表に必ず載っている数字なので、自分で調べてください。

カイ2乗分布の分布表を見つけました。
P(X≦x)=∫[0..x]1/(Γ(r/2)2^(r/2))w^(r/2-1)e^(-w/2)dw

で5.23という数値は自由度r=15,x=0.010の所が5.229となっていました。

> 答えは、P(X<5.23) = 0.05 だと思います。

仰る通り正解は0.05となってます。
どのようにして0.05を求めるのでしょうか(分布表には0.05という数値は見当たりませんでした)?

回答No.1

info22

サイトのマナーの禁止事項で
「何らかの課題やレポートのテーマを記載し、ご自分の判断や不明点の説明もなく回答のみを求める質問はマナー違反であり、課題内容を転載しているものは著作権の侵害となりますため質問削除となります。こういった質問対し回答する事も規約違反となりますのでご注意をお願いいたします。」
となっています。
質問者さんの解答を書いて、分からない箇所を具体的に質問して下さい。
解答が分かっているなら補足に書いて下さい。

確率変数Xの分布が正規分布なのか、質問文だけではよく分かりません。
Xの分布関数を正規分布として、E(e^(tX))をマクローリン展開して
m、σ^2を求めて、そこから
P(X<5.23)=0.3007...≒0.301
とでてきました。
（自信なしです。間違っているかも知れません。）