積率母関数の問題が分かりません

質問

是非教えてください。

X～N(μ,σ^2)のとき積率母関数法を用いてE(X)=μ,V(X)=σ^2であることを示せ。
ここでN(μ,σ^2)の確率密度関数は
f(X)=(1/√2πσ)×e^-｛(x-μ)^2/2σ^2｝ (σ>0, -∞<x<∞)
とする。 ↑√は2πにかかっています。

よろしくお願いします。

回答No.1

Ae610

N(μ,σ^2)のモーメント母関数φ(θ)を求めると
φ(θ) = exp(σ^2/2・θ^2 + μθ)

よって
E(X) = dφ(θ)/dθ｜[θ=0]・・・を求める。
V(X) = (d^2φ(θ)/dθ^2｜[θ=0])－(dφ(θ)/dθ｜[θ=0])^2・・・を求める。