確率密度関数2

質問

以下の問題をバイトの学生が大学の宿題でもってきましたがどう解くのかさっぱりわかりません。よろしくお願いします。

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（1）αに対して

Γ（α）＝∫（0から＋∞までのインテグラル）　（ｘ＾（α-1））（e^(-x))dx
とおく。Γ（α）をガンマ関数と呼ぶ。講義中、自然数ｎに対して
　　　　Γ（α）＝（ｎ-1）！
であることを示した。ここでは
　　　　Γ（α+1）＝αΓ（α）
を証明せよ。

（2）λ＞0,α＞0とする。確率密度関数
　　　　ｆ（ｘ）＝（（α＾λ）/（Γ（α））（λ＾（α-1））(e^（-αｘ））　（ｘ≧0）
　　　　ｆ（ｘ）＝0　　　　（ｘ＜0）

を持つ、確率変数Xに対して,E（X）とV（ｘ）を求めよ。
（λ＝ｎ/2,α＝1/2　のときｘ＾2分布を得る）

回答No.3

kony0 · ベストアンサー

※以下、積分範囲[0,∞]を省略して表記します。

1. Γ(α) = ∫x^(α-1) e^(-x) dx
これはΓ関数の定義。

2. 正の定数pに対して、
∫x^(α-1) e^(-px) dx = ∫(y/p)^(α-1) e^(-y) (1/p)dy = Γ(α)/p^α
これが結構応用のできる式になります。Γ関数の定義から直ちに導出できますね。

これから類推するに、問題のf(x)は・・・
f(x)={α^λ/Γ(λ)}{x^(λ-1)}{e^(-αx)}
ではないですか？

・・・この式だと、λ=n/2, α=1/2のとき、カイ２乗分布の確率密度関数になります。

回答No.2

grothendieck

Γ関数についてはNo.1の方が書かれている解析概論その他多数あります。Γ（α+1）＝αΓ（α）は部分積分すればすぐに出ます。Γ分布について調べるのであれば統計学の本の方が良いかもしれません。Γ分布について書いてある本も多数あると思います。ご質問の分布関数は通常のΓ分布と少し違うような気がしますが。また
　∫f(x)dx
が１にならないように思いますが…
ｘ＾2分布のxは「エックス」ではなくて「カイ」であると思われます。

回答No.1

uyama33

解き方は、

高木貞治の解析概論　（岩波書店）
を調べる。

だとおもいます。