確率密度関数からの期待値の求め方

質問

(たぶん？) 統計学の問題です。

xが(0≦x≦1)で一様に分布しているときの期待値E(x)の求め方を教えてください。

解説では、
確率密度関数f(x)=1(0≦x≦1)
E(x)=∫[1,0]x・f(x)dx
=∫[1,0]1・xdx
=[(x^2)/2][1,0]=1/2
([1,0]は∫の上に1がついて、下に0がついていました)
となっていたのですが、わたしは高校数学をやってこなかったので、解説を読んでもちんぷんかんぷんなんです…。

とくに確率密度関数が1となっている理由と、積分のやり方を教えていただけないでしょうか。

回答No.1

info222_ · ベストアンサー

>([1,0]は∫の上に1がついて、下に0がついていました)
通常は,[下限,上限]の順に書きます。　→　[0,1] or [0→1] など。
[1,0]　は逆です。

>積分のやり方を教えていただけないでしょうか。
この程度の積分が数学の微分積分の章や微積分の参考書の積分の最初の方に載っています。積分法は、きちんと学ぼうとすれば参考書や教科書一冊分以上の内容がありますので、ここで簡易に教えてもらって習得しようとするには無理があります。微積分の教科書や参考書を購入して、基礎から一通り学習された方がいいと思います。

確率密度関数 f(x) の性質
　∫[-∞, ∞]　f(x) dx =1　… (※)
確率分布関数は f (x) を使って　
　F(x)=∫[-∞, x] f(x) dx , F(∞)=1
で定義されます。

今の場合
>xが(0≦x≦1) で一様に分布しているとき

f (x)=k（定数）(0≦x≦1), f (x)=0 （その他のx）　…(★) とおいて(※)の左辺に代入すると

　∫[-∞, ∞]　f(x) dx = ∫[-∞, 0]　0 dx + ∫[0, 1]　k dx + ∫[1, ∞]　0 dx
　　 = 0 + [ kx] [0, 1] + 0
　　=　k (1-0) = k … (☆)

>とくに確率密度関数が1となっている理由

(☆)が、（※）の右辺の1に等しいから
　 k = 1 … (◆)
とKが決まります。

これを(★)に代入すれば、「xが(0≦x≦1) で一様に分布している」場合の確率密度関数

　f(x) = 1 (0≦x≦1), f (x)=0 （その他のx）　…(★)

>x　が(0≦x≦1)で一様に分布しているときの期待値E(x)の求め方を教えてください。

期待値の定義式は

　E { x } = ∫[-∞, ∞] x f(x) dx

です。これに　(★)のf(x)を代入すれば

　E { x } = ∫[-∞, ∞] x f(x) dx =∫[0, 1] x * 1 dx =∫[0, 1] x dx

積分公式：∫x^n dx =　x^(n+1)/(n+1) + C　（n=1）　を適用して

　　= [(1/2)x^2] [0, 1] = (1/2)*(1^2 -0^2) ] =(1/2)*1
　　= 1/2

という結果が得られます。

お礼

あいがとうございました

回答No.2

stomachman

ANo.1はカンペキ回答だと思いますんで、蛇足ですけど、少し言葉の意味を説明しようかなと。

　ご質問は、統計学ではなくて、確率論の問題です。
　確率論とは、（サイコロを振るように）どんな物事が生じるか予測はできないものの、物事がどういう割合で生じるかなら分かっている、ということを前提として、それらの物事をいろいろ組み合わせたときに、組み合わされた物事がどういう割合で生じるかを計算する数学です。（だからデータは不要です。）
　統計学とは、過去に得られたデータを使っていろいろな判断を行う方法についてのガクモンであり、そのために確率論を応用します。

　さて、確率論で言う期待値ってのは、統計学で言えば平均値です。平均値なら分かるでしょ？
　「xが(0≦x≦1)で一様に分布しているときの期待値E(x)」を問うのは、「0から1までのどんな値も同じ出やすさで出る」という実験をうんと沢山繰り返したときの平均値を問うのと同じことです。（そりゃ0.5だろう、と推測できますか？）
　ここで、「0から1までのどんな値も同じ出やすさで」という部分が、「xが(0≦x≦1)で一様に分布している」ということの意味です。

　この問いを一般化して、「出た値がxからx+cの範囲に入る確率はcφ(x)である(ただし、cはうんと小さい正の数)」という場合にも、その実験をうんと沢山繰り返したときに平均がいくらになるかを計算できるようになるためには、確率密度関数φ(x)とxの積 xφ(x)を積分する必要がある。
　逆に言えば、この一般化された問いの最も簡単な場合が、ご質問の問題なのです。

　これから勉強を進めて行くにあたって、簡単な積分（および微分）の計算が必要になるのは間違いありません。今の内に高校の参考書を買ってきて勉強するのが結局一番早道でしょう。

お礼

ありがとうございました