確率関数の求め方がわからず困っています。

質問

確率変数　X　が　B（4 , 1/3）に従うとき、次の確率変数の確率関数を求めよ。
またその期待値を求めよ。

（a）Ｙ＝Ｘ－２

（b）Z=X^2-2X

です。

できれば途中計算等も載せていただくとありがたいです。

どうかお願いします。

回答No.2

gef00675

B（4 , 1/3）の意味がわかっていないみたいですね。
これは、１回の試行で何かが起る確率が1/3であるとして、その試行を４回繰り返したとき、そのことが起った回数を表す確率分布です。こういうものを2項分布というのでした。1/3の確率で勝つ勝負（たとえばじゃんけん）を４回繰り返したとき、４回勝つ確率、３回勝つ確率、．．．は計算できますね。このときの勝った回数がＸです。だから、Ｘ＝0,1,2,3,4なのです。ＹはＸから単純に２を引いただけなので、Y=-2,-1,0,1,2であり、確率の対応も
　(Y=-2となる確率) ＝ (X=0となる確率）
　(Y=-1となる確率) ＝ (X=1となる確率）
　　……
です。
次の問は、Ｚ＝X(X-2)＝ＸＹですから、ＸとＹの値の組み合わせすべてを考え、
Ｘ　　Ｙ　　　Ｚ　　　確率
０　－２　　　０　　(X=0の確率)×(Y=-2の確率）
１　－２　　－２　　(X=1の確率)×(Y=-2の確率）
　　……
４　　２　　　８　　(X=4の確率)×(Y=2の確率）
５×５＝２５通りの確率を計算します。それをＺの同じ値ごとに足したものがＺの確率分布になります。計算には根性がいります。楽な方法はありません。
（Ｚ＝０の確率）＝（Ｘ＝０でＹがどれでもよい場合）の確率＋（Ｘ≠０でＹ＝０）の確率
（Ｚ＝４の確率）＝（Ｘ＝２でＹ＝２）の確率＋（Ｘ＝４でＹ＝１）の確率
　　……
などと、全部の組み合わせを考えて、
Ｚ＝-8, -6, -4, -2, -1, 0, 1, 2, 4, 6, 8
のそれぞれに対応する確率を表にしたものが、Ｚの確率関数（＝確率分布）になります。ただ、関数といっても、きれいな式にはなりません。

回答No.1

gef00675

まず、２項分布の確率関数を書きくだしてみましょう。
そうすれば、(a)はすぐにわかるはず。
(b)は、Z=X(X-2)と変形すると、ＸとＹの積になっています。
ＸとＹのとりうる範囲はＸ＝0,1,2,3,4, Y=-2,-1,0,1,2だから
それらの組み合わせから、Ｚの確率分布を１つ１つ計算して
表にしてみましょう。

補足

回答ありがとうございます。
やり方はわかりましたが、（a）のX、（b）のX,Yのとりうる範囲がどうしてそのようになるのかがわかりません。