確率関数

質問

離散型の確率変数Ｘが、次のような確率関数を持つものとする。
P(x)=1/2(1-｜x｜/2) x=-1,0,1

ＹをＸと同一の確率分布を持ち、かつＸと独立の確率変数とする。この時、E(5Ｘ+3Ｙ-2）とＶ（Ｘ-Ｙ）WO
求めよ。という問題があるのですが、私の考える限り、Ｙの確率変数を自分で勝手に設定しない限り、解くのは不可能のように思います。そうすると自分で勝手に設定した値が残ってしまうように思います。実際はどうやって解けばいいのでしょうか。

回答No.2

shkwta · ベストアンサー

No.1です。

＞ＹをＸと同一の確率分布を持ち、かつＸと独立の確率変数とする
＞x=-1,0,1というのはＸと同じで、それぞれの数である確率が違うというだけのことですか？？

「同一の確率分布」と書いてあるから、
「x=-1,0,1というのはＸと同じで、それぞれの数である確率もＸと同じ」
という意味です。

「Ｘと独立の確率変数」というのは、
Ｙの値として何が出るかは、Ｘとして出た値に影響されないという意味です。

たとえば、同じサイコロを２回投げて、１回目の目をＸ、２回目の目をＹとするのが
「ＸとＹは同一の確率分布で、かつ独立の確率変数である」
の例になります。
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ご質問の問題は、次の問題と同じです。

２枚のコインを投げて、両方が裏なら得点-1, 両方表なら得点1、裏と表なら得点0とする。
これを２回行い、１回目の得点をＸ、２回目の得点をＹとする。
得点Ｘ，Ｙから求められる３つの値
Ｓ＝Ｘ^2 + 3Ｙ - 2
Ｔ＝Ｘ - Ｙ
Ｕ＝Ｔ^2
について、つぎの計算をしなさい。

(1)Ｓの平均値（期待値）Ｅ（Ｓ）を求めなさい。
(2)Ｔの平均値　Ｅ（Ｔ）を求めなさい。
(3)Ｕの平均値　Ｅ（Ｕ）を求めなさい。
(4)Ｔの分散Ｖ（Ｔ）を求めなさい。
　Ｖ（Ｔ）＝Ｅ（Ｕ) - ｛Ｅ（Ｔ）｝^2

お礼

丁寧なお答え、ありがとうございます。助かりました♪これでなんとかなりそうっ！！！！そんな気がします。

回答No.1

shkwta

＞ＹをＸと同一の確率分布を持ち、かつＸと独立の確率変数とする
とあるのだから、
Ｘ=aかつＹ=bとなる確率はP(a)P(b)です。

これを使えば、ＸとＹの９通りの組み合わせにそれぞれ確率を計算できます。
そうしたら、5Ｘ+3Ｙ-2 や Ｘ-Ｙ の確率分布もすぐ求められるので、あとは簡単です。

補足

すいません。あまり関係ないかもしれませんが、E(Ｘ^2+3Ｙ-2）でした。

それと情けない話なんですが、この問題文も完全には理解できていなくて、

ＹをＸと同一の確率分布を持ち、かつＸと独立の確率変数とする

のＹとはx=-1,0,1というのはＸと同じで、それぞれの数である確率が違うというだけのことですか？？