連続型確率変数の最大値と最小値の期待値について

質問

以下の問題の回答が分からず、困っています。
どなたか、分かる方がいましたらよろしくお願いいたします。

確率変数X1、X2、X3が独立で、ランダム（一様）に[0,1]の範囲の値をとるとき、これらの値の最大値および最小値の期待値を求めよ
という問題です。

ちなみに、Ｆ（x）をＸの分布関数としたとき、一般的に確率変数Ｘの期待値は
Ｅ[Ｘ]＝∫x dF(x)
となることは、用いてよいです。

回答No.10

reiman

No.9削除

No.8の書き間違いは
=1-(1-y・(h(y)-h(y-1))+h(y-1))^3
　　　　　　　　⇩
=1-(1-y・(h(y)-h(y-1))-h(y-1))^3

hでやったほうがいい場所と「場合分け」でやった方がいい場所が混在している

h:ヘビサイド関数:x<0でh(x)=0,0<xでh(x)=1
Y:min(X1,X2,X3)の確率変数
Z:max(X1,X2,X3)の確率変数
P:X1,X2,X3の確率分布関数
Q:Y=min(X1,X2,X3)の確分布度関数
R:Z=max(X1,X2,X3)の確分布度関数
p:X1,X2,X3の確率密度関数
q:Y=min(X1,X2,X3)の確率密度関数
r:Z=max(X1,X2,X3)の確率密度関数
∫du:∫[-∞,∞]du
∫∫∫dudvdw=∫du∫dv∫dw=∫[-∞,∞]du∫[-∞,∞]dv∫[-∞,∞]dw
とすると

p(x)=h(x)-h(x-1)
P(x)=∫du・p(u)・h(x-u)=x・h(x)-(x-1)・h(x-1)=x・(h(x)-h(x-1))+h(x-1)
Q(y)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
R(z)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
q(y)=Q'(y)
r(z)=R'(z)
h(y-min(x1,x2,x3))=1-(1-h(y-x1))(1-h(y-x2))(1-h(y-x3))
h(z-max(x1,x2,x3))=h(z-x1)・h(z-x2)・h(z-x3)

Q(y)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
=1-(1-∫dx・p(x)・h(y-x))^3
=1-(1-P(y))^3
=1-(1-y・(h(y)-h(y-1))-h(y-1))^3
=(3y-3y^2+y^3)・(h(y)-h(y-1))+h(y-1)
よって
q(y)=Q'(y)=3・(1-P(y))^2・p(y)=3・(1-y)^2・(h(y)-h(y-1))

R(z)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
=(∫dx・p(x)・h(z-x))^3
=(P(z))^3
=(z・(h(z)-h(z-1))+h(z-1))^3
=z^3・(h(z)-h(z-1))+h(z-1)
よって
r(z)=R'(z)=3・(P(z))^2・p(z)=3・z^2・(h(z)-h(z-1))

よって
E(Y)=∫dy・y・q(y)=３・∫dy・y・(1-P(y))^2・p(y)
=3・∫[0,1]dy・y・(1-y)^2=1/4
E(Z)=∫dz・z・r(z)=３・∫dz・z・(P(z))^2・p(z)
=3・∫[0,1]dz・z・z^2=3/4

回答No.9

reiman

No.8の書き間違いは
=1-(1-y・(h(y)-h(y-1))+h(y-1))^3
　　　　　　　　⇩
=1-(1-y・(h(y)-h(y-1))-h(y-1))

h:ヘビサイド関数:x<0でh(x)=0,0<xでh(x)=1
Y:min(X1,X2,X3)の確率変数
Z:max(X1,X2,X3)の確率変数
P:X1,X2,X3の確率分布関数
Q:Y=min(X1,X2,X3)の確分布度関数
R:Z=max(X1,X2,X3)の確分布度関数
p:X1,X2,X3の確率密度関数
q:Y=min(X1,X2,X3)の確率密度関数
r:Z=max(X1,X2,X3)の確率密度関数
∫du:∫[-∞,∞]du
∫∫∫dudvdw=∫du∫dv∫dw=∫[-∞,∞]du∫[-∞,∞]dv∫[-∞,∞]dw
とすると

p(x)=h(x)-h(x-1)
P(x)=∫du・p(u)・h(x-u)=x・h(x)-(x-1)・h(x-1)=x・(h(x)-h(x-1))+h(x-1)
Q(y)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
R(z)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
q(y)=Q'(y)
r(z)=R'(z)
h(y-min(x1,x2,x3))=1-(1-h(y-x1))(1-h(y-x2))(1-h(y-x3))
h(z-max(x1,x2,x3))=h(z-x1)・h(z-x2)・h(z-x3)

Q(y)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
=1-(1-∫dx・p(x)・h(y-x))^3
=1-(1-P(y))^3
=1-(1-y・(h(y)-h(y-1))+h(y-1))^3
=(3y-3y^2+y^3)・(h(y)-h(y-1))+h(y-1)
よって
q(y)=Q'(y)=3・(1-P(y))^2・p(y)=3・(1-y)^2・(h(y)-h(y-1))

R(z)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
=(∫dx・p(x)・h(z-x))^3
=(P(z))^3
=(z・(h(z)-h(z-1))+h(z-1))^3
=z^3・(h(z)-h(z-1))+h(z-1)
よって
r(z)=R'(z)=3・(P(z))^2・p(z)=3・z^2・(h(z)-h(z-1))

よって
E(Y)=∫dy・y・q(y)=３・∫dy・y・(1-P(y))^2・p(y)
=3・∫[0,1]dy・y・(1-y)^2=1/4
E(Z)=∫dz・z・r(z)=３・∫dz・z・(P(z))^2・p(z)
=3・∫[0,1]dz・z・z^2=3/4

回答No.8

reiman

No.7の書き間違いは
P(x)=∫du・p(u)・h(x-u)=x・(h(x)-h(x-1))
　　　　　　　　⇩
P(x)=∫du・p(u)・h(x-u)=x・h(x)-(x-1)・h(x-1)=x・(h(x)-h(x-1))+h(x-1)

h:ヘビサイド関数:x<0でh(x)=0,0<xでh(x)=1
Y:min(X1,X2,X3)の確率変数
Z:max(X1,X2,X3)の確率変数
P:X1,X2,X3の確率分布関数
Q:Y=min(X1,X2,X3)の確分布度関数
R:Z=max(X1,X2,X3)の確分布度関数
p:X1,X2,X3の確率密度関数
q:Y=min(X1,X2,X3)の確率密度関数
r:Z=max(X1,X2,X3)の確率密度関数
∫du:∫[-∞,∞]du
∫∫∫dudvdw=∫du∫dv∫dw=∫[-∞,∞]du∫[-∞,∞]dv∫[-∞,∞]dw
とすると

p(x)=h(x)-h(x-1)
P(x)=∫du・p(u)・h(x-u)=x・h(x)-(x-1)・h(x-1)=x・(h(x)-h(x-1))+h(x-1)
Q(y)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
R(z)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
q(y)=Q'(y)
r(z)=R'(z)
h(y-min(x1,x2,x3))=1-(1-h(y-x1))(1-h(y-x2))(1-h(y-x3))
h(z-max(x1,x2,x3))=h(z-x1)・h(z-x2)・h(z-x3)

Q(y)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
=1-(1-∫dx・p(x)・h(y-x))^3
=1-(1-P(y))^3
=1-(1-y・(h(y)-h(y-1))+h(y-1))^3
=(3y-3y^2+y^3)・(h(y)-h(y-1))+h(y-1)
よって
q(y)=Q'(y)=3・(1-P(y))^2・p(y)=3・(1-y)^2・(h(y)-h(y-1))

R(z)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
=(∫dx・p(x)・h(z-x))^3
=(P(z))^3
=(z・(h(z)-h(z-1))+h(z-1))^3
=z^3・(h(z)-h(z-1))+h(z-1)
よって
r(z)=R'(z)=3・(P(z))^2・p(z)=3・z^2・(h(z)-h(z-1))

よって
E(Y)=∫dy・y・q(y)=３・∫dy・y・(1-P(y))^2・p(y)
=3・∫[0,1]dy・y・(1-y)^2=1/4
E(Z)=∫dz・z・r(z)=３・∫dz・z・(P(z))^2・p(z)
=3・∫[0,1]dz・z・z^2=3/4

回答No.7

reiman

書き間違いは
∫[-∞,∞]dx1dx2dx3→∫[-∞,∞]dx1∫[-∞,∞]dx2∫[-∞,∞]dx3

以下積分について積分範囲を省略した場合には積分範囲は全範囲とする

h:ヘビサイド関数:x<0でh(x)=0,0<xでh(x)=1
Y:min(X1,X2,X3)の確率変数
Z:max(X1,X2,X3)の確率変数
P:X1,X2,X3の確率分布関数
Q:Y=min(X1,X2,X3)の確分布度関数
R:Z=max(X1,X2,X3)の確分布度関数
p:X1,X2,X3の確率密度関数
q:Y=min(X1,X2,X3)の確率密度関数
r:Z=max(X1,X2,X3)の確率密度関数
∫du:∫[-∞,∞]du
∫∫∫dudvdw=∫du∫dv∫dw=∫[-∞,∞]du∫[-∞,∞]dv∫[-∞,∞]dw
とすると

p(x)=h(x)-h(x-1)
P(x)=∫du・p(u)・h(x-u)=x・(h(x)-h(x-1))
Q(y)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
R(z)=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
q(y)=Q'(y)
r(z)=R'(z)
h(y-min(x1,x2,x3))=1-(1-h(y-x1))(1-h(y-x2))(1-h(y-x3))
h(z-max(x1,x2,x3))=h(z-x1)・h(z-x2)・h(z-x3)

Q(y)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
=1-(1-∫dx・p(x)・h(y-x))^3
=1-(1-P(y))^3
=(1-(1-y・(h(y)-h(y-1)))^3)
よって
q(y)=Q'(y)=3・(1-P(y))^2・p(y)=3・(1-y)^2・(h(y)-h(y-1))

R(z)
=∫∫∫dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
=(∫dx・p(x)・h(z-x))^3
=(P(z))^3
=z^3・(h(z)-h(z-1))
よって
r(z)=R'(z)=3・(P(z))^2・p(z)=3・z^2・(h(z)-h(z-1))

よって
E(Y)=∫dy・y・q(y)=３・∫dy・y・(1-P(y))^2・p(y)
=3・∫[0,1]dy・y・(1-y)^2=1/4
E(Z)=∫dz・z・r(z)=３・∫dz・z・(P(z))^2・p(z)
=3・∫[0,1]dz・z・z^2=3/4

回答No.6

hrsmmhr

E(X)=∫XdF(X)
の意味は
E(X)=∫X{dF(X)/dX}*dX
でdF(X)/dxが確率密度関数だと思います
∫[x1, x2]dF(X)=∫[x1, x2]dF(X)/dX*dX=F(x2)-F(x1)はx1~x2の確率で（F(X)が分布関数ということの意味）
E(X)=∫X{dF(X)/dX}*dXは連続変数XでXにその場合の確率（確率密度）をかけて足し合わせる計算ということです

問題の期待値は、例えば最大値で
XdF(X)={(X1が最大値のときの)*X1+(X2が最大値のときの)*X2+(X3が最大値のときの)*X3}*dF(X1)*dF(X2)*dF(X3)
このうち(X1が最大値のときの)*X1*dF(X1)*dF(X2)*dF(X3)をdF(X1)*dF(X2)*dF(X3)で積分すると
∫∫∫[0<=X1<=1, X2<X1, X3<X1の範囲]X1*dFX1/dX1*dFX2/dX2*dFX3/dX3*dX1*dX2*dX3
=∫X1∫[0,X1]dFX2/dX2*dX2∫[0,X1]dFX3/dX3*dX3*dFX1/dX1*dX1
一様分布なのでdF(X1)/dX1=dF(X2)/dX2=dF(X3)/dX3=1として
=∫X1(X1-0)(X1-0)dX1
=∫X1^3dX1
となろうと思います

回答No.5

Tacosan

そのために「ちなみに」以下があるんですけど....

連続型なら「最大値がＸになる確率」は 0 でっせ.

回答No.4

Tacosan

X1, X2, X3 の最大値の分布関数を考えれば簡単じゃないかな.
max {X1, X2, X3} ≦ X ⇔ X1 ≦ X かつ X2 ≦ X かつ X3 ≦ X
だから (あと独立性から)
Pr(max {X1, X2, X3} ≦ X) = Pr(X1 ≦ X) Pr(X2 ≦ X) Pr(X3 ≦ X) = X^3.

お礼

回答ありがとうございます。
自分も初めはそう考えたのですが、その確率だと「最大値がＸになる確率」ではなくて、「最大値がＸ以下になる確率」を求めてしまっていることにならないのでしょうか？

回答No.3

Tacosan

確率密度関数と分布関数は, どのような関係にあるでしょうか?

お礼

確率密度関数の不定積分が分布関数ですよね？
ということは、dF(x)=dF(x)/dx・dx=f(x)dxということですかね？
それなら納得がゆきます。

ただもしそうだとした場合、この問題では
Ｘ１が最大値になる確率＝P(X１=X)P(X２<X)P(X３<X)
　　　　　　　　　　　　　　＝1-0/(1-0)×X1-0/(1-0)×X1-0/(1-0)
＝Ｘ１^2
になると思うのですが、これをＸ１の確率密度関数だとみなしてよいということでしょうか？

回答No.2

hrsmmhr

X1が最大値Xをとる場合
X1が最大になる確率はF(X)=P(X1=X)P(X2<X)P(X3<X)ですので
E_Max(X1)=∫X1dF(X1)=∫X1^3dX1=1/4
同様に
E_Max(X2)=E_Max(X3)=1/4
E_Max(X)=E_Max(X1)+E_Max(X2)+E_Max(X3)=3/4
最小値は同様に
E_Min(X1)=∫X1(1-X1)^2dX1=1/12
E_Min(X)=1/4

お礼

回答ありがとうございます。
求め方の手順は大体分かったのですが、

＞∫X1dF(X1)=∫X1^3dX1=1/4
の部分がよく分かりません。

そもそも自分自身、問題文の表記にあった∫x dF(x)の表記の意味があまり分かっていなかったのですが、これはxをＦ（x）で積分するという意味なのでしょうか？
確率密度関数がf(x)であるときに、E[x]=∫xf(x)dxとなるということは分かっているつもりなのですが・・・

回答No.1

reiman

h:ヘビサイド関数
Y:min(X1,X2,X3)の確率変数
Z:max(X1,X2,X3)の確率変数
P:X1,X2,X3の確率分布関数
Q:Y=min(X1,X2,X3)の確分布度関数
R:Z=max(X1,X2,X3)の確分布度関数
p:X1,X2,X3の確率密度関数
q:Y=min(X1,X2,X3)の確率密度関数
r:Z=max(X1,X2,X3)の確率密度関数
とすると

p(x)=h(x)-h(x-1)
P(x)=∫[-∞,∞]du・p(u)・h(x-u)
Q(y)=∫[-∞,∞]dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
R(z)=∫[-∞,∞]dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
q(y)=Q'(y)
r(z)=R'(z)
h(y-min(x1,x2,x3))=1-(1-h(y-x1))(1-h(y-x2))(1-h(y-x3))
h(z-max(x1,x2,x3))=h(z-x1)・h(z-x2)・h(z-x3)

Q(y)
=∫[-∞,∞]dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(y-min(x1,x2,x3))
=1-(1-∫[-∞,∞]dx・p(x)・h(y-x))^3
=1-(1-P(y))^3
よって
q(y)=Q'(y)=3・(1-P(y))^2・p(y)

R(z)
=∫[-∞,∞]dx1dx2dx3・p(x1)・p(x2)・p(x3)・h(z-max(x1,x2,x3))
=(∫[-∞,∞]dx・p(x)・h(z-x))^3
=(P(z))^3
よって
r(z)=R'(z)=3・(P(z))^2・p(z)

よって
E(Y)=∫[-∞,∞]dy・y・q(y)=３・∫[-∞,∞]dy・y・(1-P(y))^2・p(y)
E(Z)=∫[-∞,∞]dz・z・r(z)=３・∫[-∞,∞]dz・z・(P(z))^2・p(z)

上記の書き間違いの修正と残りの過程を捕捉に書いてください

お礼

回答ありがとうございます。

ヘビサイド関数というものを知らず、回答を見てもすぐには理解できませんでした。
もう少し勉強してみます。

丁寧な回答、ありがとうございました。