水中の微粒子分布はポアソン分布になるのでしょうか？

質問

「100mlの水に500個の微粒子を入れ、均一になるように良く撹拌してあります。ここから10ｍｌすくい取ったとき、ｘ個の微粒子が存在する確率を求めたい」という場合、ポアソン分布になっているのでしょうか。

100ml中に500個では微粒子数が多すぎてポアソン分布になっていないような気がするのですが、10^5μl中に500個あると考えるとポアソン分布でいいような気もします。

私は、ポアソン分布の確率関数
f(x)=e^(-λ)*λ^x/x!
において、
n:サンプル量(μl)　p：微粒子濃度(個/μl)　λ=np
とし、n=10^4、 p=5*10^(-3)、 λ=50 より

f(x)=e^(-50)*50^x/x!

と考えたのですが、合っているでしょうか？

容量の単位を変えると微粒子濃度が大きくなったり小さくなったり感じられ、ポアソン分布の適用基準がわかりません。

本などで調べたのですが類似の例がなく、良くわかりません。宜しくお願いいたします。

回答No.2

age_momo · ベストアンサー

これは正確には2項分布になると思います。1/10の体積を取り出すと定義すれば粒子の大きさも関係ないですし、それで含まれる誤差は実際の計算誤差よりは小さいのではないですかね。

粒子1個がすくい取られる確率が0.1ですので
n個すくわれる確率は
C[500,n]*0.1^n*0.9^(500-n)
期待値:0.1*500=50
分散:0.1*0.9*500=45

ただ、P≦0.1の2項分布はポアソン分布に近似することが可能ですので、そういう意味でポアソンでいいと思いますよ。(ぎりぎりですね。分散が1/0.9倍になってますね）

2項分布とポアソン分布の最大の違いは2項分布が0から500個までの確率を足せば1になり、500個を越えることはありえないのに対してポアソンは無限大まで足して1になり、ほとんど0ながら501個すくい出される確率も存在する点ではないでしょうか。品質管理などで欠点数の分布なら無限大まで可能性があるのでポアソンですが、今回の場合は500個止まりですね。だから2項分布だと思いますよ。

お礼

お答えいただきありがとうございます。大変参考になりました。２項分布とポアソン分布の違いなど勉強不足のところがありますので今後身につけたいと思います。

ところで質問を重ねて申し訳ないのですが、もし100ml中に微粒子500個ではなく、同じ濃度ですが、100l(=100000ml)中に微粒子500000個の水から10mlすくい取るとすれば、P=0.0001と充分小さくなるのでポアソン分布になるのでしょうか？もしなるとすれば私の計算でいいのでしょうか？

回答No.3

age_momo

>P=0.0001と充分小さくなるのでポアソン分布になるのでしょうか？

基本的には#2と同じく2項分布をポアソンで近似でしているだけなんですがPが小さくなるほど誤差が少なくなります。
P=0.1の時の50個の確率と40個の確率を書き出すと

　　　　　ポアソン　　　2項分布(P=0.1)　　　(P=0.0001)
50個　　0.056325006　　0.05937067　　0.056327823
40個　　0.021499631　　0.02007379　　0.021498341

P=0.0001の時の結果はポアソンとかなり一致している事が分かります。だから、こちらの方はポアソンで計算してもいいと思います。
式に関しても質問者さんの
f(x)=e^(-50)*50^x/x!
であってますよ。

お礼

比較の計算までしていただき本当にありがとうございました。これをきっかけに自分でもよく考えたところ、大分ポアソン分布の概要がつかめたような気がします。
まだＰ（不良率ととらえていますが．．．）の考え方がわからないのですが、一度締めてよく考えてからもう一度質問させていただくかも知れません。その時はまた宜しくお願いいたします。
ありがとうございました。

回答No.1

ojisan7

微粒子の大きさは？
問題設定を「10ｍｌすくい取ったとき、ｘｍｌの微粒子が存在する確率」という問題設定に変えるべきです。

お礼

先ほど補足で「微粒子の大きさはｍｌで表せない」と書きましたが、直径１ミクロンの球と仮定すれば表すことは出来ますね。

すくい取った個数をｘ、微粒子の容量をｖとすれば
x=v/(4/3πr^3) でしょうか？（r=0.5ミクロン）

でも粒子が微小であれば大きさは関係ないと思うのですが．．間違っていますか？

補足

微粒子は「非常に小さい」です。すくい上げる際に大きさが影響することはない、という設定です。必要なら直径が１ミクロンとしても良いです。

＞「10ｍｌすくい取ったとき、ｘｍｌの微粒子が存在する確率」という問題設定に変えるべきです。

－－微粒子は何個と数えるもので、ｍｌで表すのは出来ないと思います。