ポアソン分布の問題が分かりません

質問

宜しくお願い致します。

[Q1] Let X have a Poisson distribution with parameter Λ which is itself a random variable with continuous uniform distribution on (0,1). What is the probability mass function of X. Find E(X).
[Q2] Cars arrive round the corner of a one way street at constant speed according to a Poisson process with rate λ cars per unit time. The time is takes a car to go from the corner to the crosswalk is just a tad longer than the time T it takes you to cross the street. Find the expected time you have to wait to cross the street. Hint: condition on whether you see no car coming (in which case you have to wait 0 units of time) or whether you see a car coming in which case you have to wait.

という問題です。

[Q1]については,先ずPoission分布ということからp.m.fはP(X=k)=λ^ke^-λ/k!,E(X)=λ,
(0,1)上の連続一様分布ということから,p.d.fはf(x)=1/(1-0) x∈[0,1], 0 otherwise.
となっているのですよね。
これからどうすればいいのでしょうか?

[Q2]についてはk台の車が一定時間mにP(X=k)=λ^ke^-λ/k!の確率で歩行者youが横断歩道を渡るのに要する時間Tより少しだけ長いT+ε.
と書ける事は分かります。これからどうすればいいのでしょうか?

回答No.2

stomachman

ANo.1 へのコメントについてです。

> 0≦Λ≦1で、

> ∃c∈R;P(Λ)=cで

> Λ<0またはΛ>1で

> P(Λ)=0.

>

> という意味ですよね。

　違います。（Λは連続値であり、従って「Λが特定の値(たとえばπ/4)になる確率」は0です。で、もちろん、そんな話をしているんじゃありません。）「(0,1)の一様分布」というのは、確率密度関数φが
　　φ(x) = (0＜x＜1 なら 1, さもなくば0)
であるという意味。そして確率密度関数ってのは、Λがある範囲(a-b, a+b)に入る確率が
　　P(Λ∈(a-b, a+b)) = ∫{x=(a-b)～(a+b)}φ(x)dx
で計算されるということです。

> これはX(Λ)というΛに関しての関数に於いて,

> P(X(Λ)=k)=λ^k e^-λ/k! を満たすという事ですよね。

　違います。Xはランダム変数であり、Λの関数じゃありません。
　問題は「一様分布に従ってΛがランダムに選ばれて、それによって決まるポアソン分布に従ってXがランダムに選ばれる。そしたらXの分布はどうなるか」という話です。だから、Λを定数だと思ったときのXの分布関数ψ(Λ,x)を計算し、それをΛの確率密度関数φを重みとして積分するんです。

> corner直前にいる車が横断歩道に差し掛かるまでかかる時間はc+ε秒,


　ε=0 でいいんですってば。

> これからどうすれば

　ポアソン分布云々の練習問題をやる前に、まずは確率変数や確率分布の基本概念を復習した方が良さそうに思われます。

回答No.1

stomachman

数学に取りかかる前に問題を正しく読まないとな。

[Q1] Λが一様分布に従い、XはΛをパラメータとするポアソン分布に従うという話。
[Q2] "just a ted longer"の長さは0だと思って無視してよし。問題は、youがcrosswalkに到着した瞬間sから、それ以降でcrosswalkとcornerの間に車が一台も居なくなる最初の瞬間tまでの時間(t-s)の期待値を求めている。

お礼

有難うございます。

> 数学に取りかかる前に問題を正しく読まないとな。
> [Q1] Λが一様分布に従い、

"Λが一様分布に従う"とは下記の意味ですよね。

0≦Λ≦1で、
∃c∈R;P(Λ)=cで
Λ<0またはΛ>1で
P(Λ)=0.

という意味ですよね。

> XはΛをパラメータとするポアソン分布に従うという話。

これはX(Λ)というΛに関しての関数に於いて,
P(X(Λ)=k)=λ^k e^-λ/k! を満たすという事ですよね。
どうやって,p.m.fとE(X)を求めればいいのでしょうか?

> [Q2] "just a ted longer"の長さは0だと思って無視してよし。

つまり,"cornerから横断歩道に到達するのにかかる時間cはyouが横断歩道を渡りきるのにかかる時間yより,少し長い"
というのは,corcerに車が見えてる状態から横断歩道を渡り始めてもはねられる事はないという意味ですよね?
そして,この時,c>y,c≒y.

corner直前にいる車が横断歩道に差し掛かるまでかかる時間はc+ε秒,
corner直後にいる車が横断歩道に差し掛かるまでかかる時間はc-ε秒で
c-ε<y<c+ε,2ε<yが成り立ってるのですね(εは小さい正実数)。
この時,2ε<yより,一台目が横断歩道を通り過ぎた時点で次車は既にcorner後にいるので一台目通過直後に横断歩道を渡るのは不可能,即ち,2台とも完全に通過するまで待たねばならない。

> 問題は、youがcrosswalkに到着した瞬間sから、それ以降でcrosswalkとcornerの間
> に車が一台も居なくなる最初の瞬間tまでの時間(t-s)の期待値を求めている。

k=0ならP(X=0)=λ^0e^-λ/0!=e^-λ←待ち時間tはt=0秒,
k=1ならP(X=1)=λ^1e^-λ/1!=λe^-λ←待ち時間tはc-ε<t<c+εでt≒c秒間.
k=2ならP(X=2)=λ^2e^-λ/2!=λ^2e^-λ/2←待ち時間tはc-ε<t<c+εでt≒c秒間.
:
k=kならP(X=k)=λ^ke^-λ/k!=λ^ke^-λ/k←待ち時間tはc-ε<t<c+εでt≒c秒間.

すいません。これからどうすればいいんでしょうか?