尤度関数について

質問

確率変数X1,X2,…,Xnが独立に同一の成功の確率Pを持つベルヌイ分布に従うとき

(1)n=5,X1=1,X2=0,X3=0,X4=1,x5=1であるとき、Pの推定値を1つ挙げ、その理由を答えよ。

解)
　Xiの期待値E[Xi]をn個の実測値から求めた標本平均で推定するとする

　　Pの推定値=1/n(X1+X2+X3+…+Xn)
=3/5

(2)尤度関数を作成し、それを最大化することによって、最尤推定量を計算せよ。

解)
　(0,1)で5回のうち3回1なので
　f(P)=5C3P^3(1-P)^2
=10P^3(1-P)^2
f'(P)=30P^2(1-P)^2+10P^3*2(1-P)(-1)
=30P^2(1-P)^2-20P^3(1-P)
=10P^2(1-P){3(1-P)-2P}
=10P^2(1-P)(3-5P)

よって最尤推定量は1

(3)上と同様にしてV(Xi)の最尤推定量を求めよ。また、この推定量が不偏推定量かそうでないかを調べよ。

(2)までは何とか解けました。(合っているかはわからないので間違っていた場合はご指摘ください)(3)の問題の尤度関数はどのように立てればいいのでしょうか？ご教授願います。

回答No.1

Ideasforlife · ベストアンサー

先の質問は締め切っておいてくださいね。
さて、
(2) pの最尤推定量は1　という答えは間違いです。確率の推定値を１とするのは、かなり無茶ですから、直感で間違ってるゾと思わないといけません。

示されている計算は２項分布の場合のものになります。ここれでは xi=1 となる確率がp のときに、1,0,0,1,1 となったので,
尤度＝p*(1-p)*(1-p)*p*p
と考えてよいです。
尤度の計算は簡単のために両辺のlogを取ってから行うことが多いです。ここでも、log 尤度 が最大になるpを求めてやればよいでしょう。

お礼

ご丁寧なご指導ありがとうございます。この尤度関数事態はそんなに難しくはないということはわかりますが解き方がまだよくわかりません。
参考書を参考にしても私は具体例がないとよく理解できないタイプなのでちんぷんかんぷんです。
ご指導いただけないでしょうか？

補足

たびたびすみません、
尤度関数
　　L(P)=P^3(1-p)^2で
　　dL(P)/dP=P^2(1-P)(3-5P)で
　　　　　　よって最尤推定量は3/5
これでよろしいでしょうか？
この式の場合logはとらなくていいと思うのですが、、。

回答No.2

Ideasforlife

(3)はイマイチ出題の主旨がわからないのですが...考え方だけ

θ=V(Xi)として、尤度関数を考えますが、やはり尤度はp*(1-p)*(1-p)*p*p です。pはθの関数なので、計算はできますね。