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統計解析の問題(分散など)

X1~Xnを母平均μと母分散σ^2の同一母集団から無作為に抽出されるn個の確率変数とする。 標本平均{Xn}(アッパーバーを表記できないので代わりに)と分散推定量Un^2をそれぞれ {Xn}=(1/n)*Σ(Xi)[i=1~n] Un^2=(1/(n-1))*Σ(Xi-{Xn})^2 とする。 このときXi(i=1~n)の確率密度関数が f(x;μ)=(1/μ)*exp(-x/μ)(x>0) 0(x≦0) のとき、V[{Xn}]を求めよ。(ただし、母分散σ^2はμで表すこと) また、{Xn}が母平均μの有効推定量であることを示せ。 という問題について、この場合、E[Xi](期待値)=μ、E[Xi^2]=σ^2+μ^2ということは分かったのですが、 σ^2をμで表す過程で躓いています。 MXi(t)=∫e^tx*(1/μ)*exp(-x/μ)dx(積分範囲-∞~0)+∫e^tx*0dx(積分範囲0~∞) を計算するところで止まっています。 ∫e^tx*(1/μ)*exp(-x/μ)dx(積分範囲-∞~0)をうまいこと計算するにはどうしたらいいでしょうか?

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  • alice_44
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指数法則を使って、 exp をひとつにまとめたらいい。

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質問者からのお礼

計算が間違ってることに自分で気づきました。x=-∞の時はe^((tμ-1)x/μ)=0ですね……

質問者からの補足

e^tx*e(-x/μ)=e^((tμ-1)x/μ) これを積分すると(μ/(tμ-1))*e^((tμ-1)x/μ)となり、 積分範囲が-∞~0なので、 x=-∞のときe^((tμ-1)x/μ)=e^0=1 x=0のとき同じくe^0=1 となり、積分が0となってしまいました。 となるとE[Xi^2]=MXi'(0)=0となり、E[Xi^2]=σ^2+μ^2に反してしまいます。 この積分は何か独特な計算の仕方があるのでしょうか? それとも私の計算が間違ってるだけでしょうか?

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