確率変数の問題です。

質問

確率変数X1,X2,…,Xnが独立に同一の成功の確率pをもつベルヌイ分布に従うとき

1）n=5,X1=1,X2=0,X3=0,X4=1,X5=1であるとき、pの推定値を1つ挙げ、その理由も述べよ。

2）尤度関数を構成し、それを最大化することによって、再尤推定量を計算せよ。

3）上と同様にしてV(Xi)の最尤推定量を求めよ。また、この推定量が不偏推定量定数かそうでないかを調べよ。

上記の3題についてなのですが、ベルヌイ分布はXを確率pで値1をとり、確率q=1-pで値0をとる確率変数ということはわかるのですが実際に数値で出された場合はどのように示せばよいのでしょうか？
また2）3）については全く解答の見当がつきません。
尤度関数というのは何でしょうか？確率統計のテキストにはのっていません。ネットで調べましたがイマイチよくわかりません。

解法、考え方等教えていただきたいのですがどなたかお力を貸していただけないでしょうか？
よろしくお願いいたします。

回答No.1

Ideasforlife · ベストアンサー

確率変数 Xiは　成功したとき　1 をそうでないとき 0 を取るとします。
1) Xiの期待値を考えてましょう。その期待値の推定値として、サンプルから計算した Xiの平均値を採用するような推定法でよいのではないかと思います。

2)3) 尤度はたいていの大学レベルの統計学の教科書で触れられていると思いますが...

http://okweb.jp/kotaeru.php3?q=1354447
http://okweb.jp/kotaeru.php3?q=1156190
が参考になりますので、ご覧ください。

お礼

早速のご指導ありがとうございます。上記URLとても参考になりました。
本題の問題についてですが推定値についてはノータッチだったので自信がないのですが
1/n(X1+X2+X3+X4+X5)
=1/5(1+0+0+1+1)
=3/5 この後何をすればよいのでしょうか？
参考書にも同じようないい例題、演習題等がなく困っています。ご教授いただけませんでしょうか？

回答No.2

Ideasforlife

No.1の者です

一つの考え方として、Xiの期待値 E[Xi]を n個の実測値から求めた標本平均で推定します。E[Xi]=p*1 + (1-p)*0 = p　となり、すなわち、
　pの推定値 = 1/n(X1+X2+...+Xn)
ということになります。

お礼

ご丁寧なご指導ありがとうございます。
なるほど、具体例がのっていたので教えていただいたURLが大変参考になり理解できました。また(1)についてもよく理解することができました。

(2)についてですが尤度関数は
f(p)=5C3p^3(1-p)^2とおいて
最尤推定量は1でいいのでしょうか？

(3)については
V(x)=E(x^2)-{E(x)}^2より
この後がまたわかりません、、、。
またpを使うのですよね？？

お手数おかけいたしますがご教授願います。
よろしくお願いいたします。