最尤推定量の問題

質問

現在、統計の勉強をしているのですが、
最尤推定量というものが、いまいち理解できません。

確立変数Xが f(x|μ,θ)=1/2θ * exp(-|x-μ|/θ)の密度分布を持つ。
今、2m+1個のサンプルx1<x2...<x2m+1 を得たとして、
μ=0のときの、μの最尤推定量。
また、その最尤推定量の漸近分散の2つを求める
問題なのですが、どのようにして解けばいいのかがわかりません。

関数にμ=0を代入して微分すればよいのでしょうか。
また、漸近分散は普通の分散と違うのでしょうか。
よろしくお願いします。

回答No.3

rabbit_cat · ベストアンサー

＞と、何とも答えが曖昧なものになってしまったような気が
いいような気がします.
念のために言っておきますが，尤度関数の最大値を求めるわけですので，
dlogL(θ)/dθ = 0
になるようなθが，求める最尤推定値ですよ．

最尤推定値の分散は，2θ^2/(2m+1) ですので漸近分散は明らかにゼロですね．

お礼

ということは、
θ = 2Σx/2m+1 が答えになるんですね。

今回は、回答してくださり本当にありがとうございました。
長い間つっかえていたものが取れたような感じです。

回答No.2

rabbit_cat

＞ μ=0のときの、θの最尤推定量
尤度関数
L(θ) = (2m+1)!*f(x1|0,θ)*f(x2|0,θ)*…*f(x2m+1|0,θ)
を最大にするようなθを求めればよいです．
このままだと求めにくいので，普通は，log L(θ)の形にしてからθで微分します．

お礼

お導き、ありがとうございます。
自分なりに計算してみたところ、

L(θ)=(1/2θ)^2m+1 exp(-Σx/θ)　となり、

logL(θ)= -2m+1log(2θ)-1/θ*Σx となり、

これをθで微分して、

dlogL(θ)/dθ = -2m+1/2θ + Σx/θ^2 　　（Σの上は2m+1下はi=1)

と、何とも答えが曖昧なものになってしまったような気が
するのですが、これでいいのでしょうか。
何度も質問してしまってすみません。

回答No.1

rabbit_cat

前にも質問されていましたが，なんか問題の意味がよくわからないので答えがつきにくいんだと思います．

「μ=0のときの、μの最尤推定量」ってどういう意味なんでしょうか．
μ=0ってわかってるなら推定する必要ないような．．「尤度関数の値を求めろ」とかの間違い？簡単すぎか．

漸近分散ってのは，標本数が無限になったときの，最尤推定量の分散ですが，普通は漸近分散自体は０になると思います．上限を抑える関数を見つけろってことでしょうか．

お礼

ご指摘、ありがとうございました。
どうやら、問題を書き間違えていたようです、、

μ=0のときの、θの最尤推定量。

が正しい問題です。
本当にすみませんでした。

漸近分散については、答えは０でいいのでしょうか？
うーん、まだよく理解できないです。